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0825

Curva de Aprendizagem é um conceito criado pelos psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão:

$Q(t)=700-400\cdot e^{(-0,5)\,t}$

onde $Q$ é a quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; $t$ é o tempo de experiência, em meses e $e\approx\,2,7183$.

a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente?

b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?

c) Compare esses resultados e avalie se há coerência entre eles.

0825 - Soluções

a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente?

$Q(2)=700-400\cdot e^{(-0,5)\,t}\to Q(2)=700-\dfrac{400}{e}\to \boxed{Q(2)\approx 552}$

---

b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?

$Q(0)=700-400\cdot e^{(-0,5)\cdot 0}\to \boxed{Q(0)=300}$

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c) Compare esses resultados e avalie se há coerência entre eles.

Comparando esses resultados, observamos que $Q(2)>Q(0)$, isto é, a eficiência de um funcionário com dois meses de experiência é maior que a de um funcionário sem qualquer experiência, havendo, portanto, coerência entre os resultados obtidos.

0824

Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa é dada por:

$S(p)=\dfrac{11}{100}\cdot p^{\frac{2}{3}}$

onde $p$ é a massa da pessoa, em quilogramas. Considerando uma criança de 8 kg, determine:

a) A área da superfície corporal da criança.

b) A massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar (use a aproximação $\sqrt{2}=1,4$).

0824 - Soluções

a) A área da superfície corporal da criança.

$S(8)=\dfrac{11}{100}\cdot 8^{\frac{2}{3}}\to S(8)=\dfrac{44}{100}\to\boxed{S(8)=0,44\,\text{m}^2}$

---

b) A massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar (use a aproximação $\sqrt{2}=1,4$).

Duplicando a área corporal, teremos $0,88\text{m}^2$, portanto:

$\dfrac{11}{100}\cdot p^{\frac{2}{3}}=0,88\,(p>0)\to p^{\frac{2}{3}}=8\to p=2^4\cdot\sqrt{2}=16\cdot 1,4\to 22,4$ kg.

0823

O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por $T(t)=T_{A}+\alpha\cdot 3^{\beta\,t}$, onde $T(t)$ é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante $t$, dado em minutos, $T(A)$ é a temperatura ambiente, suposta constante, e $\alpha$ e $\beta$ são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de $-18^{o}$C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu $0^{o}$C após $90$ minutos e chegou a $-16^{o}$C após 270 minutos.

a) Encontre os valores numéricos das constantes $\alpha$ e $\beta$.

b) Determine o valor de $t$ para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{o}$C superior à temperatura ambiente.

0823 - Soluções

a) Encontrando os valores numéricos das constantes $\alpha$ e $\beta$:

Vamos montar(e resolver) um sistema de equações em função de $\alpha$ e $\beta$, com os dados da questão; assim:

$\left\{\begin{array}{rcl} 0 & = & -18+\alpha\cdot 3^{90\beta}\\ -16 & = & -18+\alpha\cdot 3^{270\beta}\\ \end{array}\right.\rightarrow$

$\left\{\begin{array}{rcl} \alpha\cdot 3^{90\beta} & = & 18\\ \alpha\cdot 3^{270\beta} & = & 2\quad(\div)\\ \end{array}\right.\rightarrow$

$\dfrac{\cancel{\alpha}\cdot 3^{90\beta}}{\cancel{\alpha}\cdot 3^{270\beta}}=\dfrac{18}{2}\to$

$3^{90\beta-270\beta}=3^2\to 90\beta-270\beta=2\to\boxed{\beta=-\dfrac{1}{90}}$

Substituindo $\beta=-\dfrac{1}{90}$ em qualquer das equações de $\alpha$, teremos:

$\alpha\cdot 3^{90\left(-\frac{1}{90}\right)}=18\to\alpha\cdot 3^{-1}=18\to\boxed{\alpha=54}$

---

b) Determinando o valor de $t$ para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{o}$C superior à temperatura ambiente:

Para $T=\left(-18+\dfrac{2}{3}\right)^{o}$C, teremos:

$\cancel{-18}+\dfrac{2}{3}=\cancel{-18}+54\cdot 3^{-\frac{1}{90}\,t}\to\dfrac{2}{3}=54\cdot 3^{-\frac{1}{90}\,t}$

$\dfrac{1}{3}=27\cdot 3^{-\frac{1}{90}\,t}\to\ldots\to 3^{-4}=3^{-\frac{1}{90}\,t}\to\boxed{t=360\,\text{min}}$

0822

Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores $A$ e $B$ variava em função do tempo $t$, em anos, de acordo com as seguintes funções:

$\boxed{A(t)=2\cdot 10^5\cdot (1,6)^t}\quad\quad\boxed{B(t)=4\cdot 10^5\cdot(0,4)^t}$

Considere as estimativas corretas e que $t=0$ refere-se ao dia 1 de janeiro de 2018.

a) Calcule o número de eleitores dos candidatos $A$ e $B$ em 1 de janeiro de 2018.

b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.

c) Mostre que, em 1 de outubro de 2018, a razão entre os números de eleitores de $A$ e $B$ era maior que 1(um).

0822 - Soluções

a) Calculando o número de eleitores dos candidatos $A$ e $B$ em 1 de janeiro de 2018:

$A(0)=2\cdot 10^5\cdot (1,6)^0\to\boxed{A(0)=200.000\,\text{eleitores}}$

$B(0)=4\cdot 10^4\cdot (0,4)^0\to\boxed{B(0)=400.000\,\text{eleitores}}$

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b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores:

$A(t)=B(t)\to 2\cdot 10^5\cdot (1,6)^t=4\cdot 10^5\cdot(0,4)^t\to$

$\left(\dfrac{1,6}{0,4}\right)^t=\dfrac{4\cdot \cancel{10^5}}{2\cdot \cancel{10^5}}\to 4^t=2\to t=\dfrac{1}{2}\,\text{ ano}\to t=6\,\text{meses}$

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c) Mostrando que, em 1 de outubro de 2018, a razão entre os números de eleitores de $A$ e $B$ era maior que 1(um):

Nessa solução vamos adotar a data de 1 de outubro de 2018 como $t=\dfrac{3}{4}$ do ano:

$\dfrac{A\left(\dfrac{3}{4}\right)}{B\left(\dfrac{3}{4}\right)}=\dfrac{2\cdot 10^5\cdot(1,6)^{\frac{3}{4}}}{4\cdot 10^5\cdot(0,4)^{\frac{3}{4}}}=\dfrac{1} {2}\cdot 4^{\frac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}>1$

0821

Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função $f(d)$, cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia $(d)$, a partir de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função $y=e^x$:

Utilizando $f(d)=100-100\cdot e^{(-0,2)\,d}$ e o gráfico acima, qual o valor de $d$, para que a empresa possa prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia?

0821 - Solução

Pelos dados, teremos:

$f(d)=87\to 100-100\cdot e^{(-0,2)\,d}=87\to\boxed{e^{-0,2d}=0,13}$

Pelo gráfico, temos que $e^{-2}=0,13$. Como $0,13=0,13$:

$e^{(-0,2)\,d}=e^{-2}\to d=\dfrac{-2}{-0,2}\to\boxed{d=10\,\text{dias}}$

0820

Obtenha a solução da equação exponencial $5^x\cdot(5^x-1)=20$.

0820 - Solução

Façamos $5^x=k$:

$k(k-1)=20\to k^2-k-20=0\to$ por Bhaskara: $k_{1}=5$ ou $k_{2}=-4$

Se $k=5\Rightarrow 5^x=5\to\boxed{x=1}$

Se $k=-4\Rightarrow 5^x=-4\to\nexists\,x\in\mathbb{R}$

0819

Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função $Q$ definida, para $t\geq 0$, por $Q(t)=k\cdot 5^{kt}$, sendo $t$ o tempo, em minutos, e $k$ uma constante. A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de $Q(0)$, torna-se, no quarto minuto, igual a $25\cdot Q(0)$. Quantos de bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto?

0819 - Solução

Pelos dados, teremos:

Se $t=0\to Q(0)=k\cdot 5^0=k$

Se $t=4\to Q(4)=k\cdot 5^{4k}$

Como $Q(4)=25\cdot Q(0)$, teremos:

$k\cdot5^{4k}=25\cdot k\to 5^{4k}=25\to\boxed{k=\dfrac{1}{2}}$

Portanto: $Q(8)=\dfrac{1}{2}\cdot 5^{\frac{1}{2}\cdot 8}\to\boxed{Q(8)=312,5}$

0818

O crescimento de uma cultura de bactérias obedece à função $N(t)=600\cdot 3^{kt}$, em que $N$ é o número de bactérias no instante $t$, sendo $t$ o tempo em horas. A produção tem início em $t=0$. Decorridas 12horas há um total de 1800 bactérias. Obtenha o valor de $k$ e o número de bactérias, após 24horas, do início da produção.

0818 - Solução

Quando $t=12$h, temos:

$1800=600\cdot 3^{k\cdot 12}\to 3^{12k}=3\to 12k=1\to\boxed{k=\dfrac{1}{12}}$

Quando $t=24$h, teremos:

$N(24)=600\cdot 3^{\frac{1}{12}\cdot 12}\to N(t)=600\cdot 3^2\to\boxed{N(t)=5400\,\text{bactérias}}$

0817

Conforme dados obtidos pelo IBGE, relativos às taxas de analfabetismo da população brasileira de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possível ajustar uma curva de equação $y=30\cdot k^x + 10$, onde $K>0$, representada por:

a) Determine o valor de $k$.

b) Obtenha as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (valor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.

0817 - Soluções

a) Determinando o valor de $k$:

Sendo $x=30$ e $y=20$, teremos:

$20=30\cdot k^{30}+10\to\boxed{k=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{30}}=\sqrt[30]{\dfrac{1}{3}}}$

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b) Obtendo as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (valor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.

b.1) O ano de 1960 corresponde a $x=0$. Logo:

$y=30\cdot\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{30}}\right]^{0}+10\to\boxed{y=40\%}$

b.2) O ano de 2020 corresponde a $2020-1960=60$, isto é, $x=60$. Logo:

$y=30\cdot\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{30}}\right]^{60}+10\to\boxed{y=\dfrac{40}{3}\approx 13,33\%}$

0816

Dadas as funções definidas por $f(x)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^x$ e $g(x)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^x$. Classifique, justificando, cada afirmativa a seguir:

a) Os gráficos de $f(x)$ e $g(x)$ não se interceptam.

b) $f(x)$ é crescente e $g(x)$ é decrescente.

c) $g(-2)\cdot f(-1)=f(1)$.

d) $f[g(0)]=f(1)$.

e) $f(-1)+g(1)=\dfrac{5}{2}$.

Dado: Gráfico das duas funções, no mesmo plano cartesiano

0816 - Soluções

A partir do gráfico acima e das equações, poderemos verificar cada afirmativa; assim:

a) Falso, pois os gráficos se encontram em $(0;\,1)$ como todas as funções (apenas) exponenciais, ou seja, sem quaisquer elementos que alterem ou desloquem esses gráficos.

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b) Falso, pois $f(x)$ é, visivelmente, decrescente e $g(s)$ e, visivelmente, crescente.

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c) Verdadeira, pois:

$g(-2)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}=\dfrac{16}{25}$

$f(-1)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{4}$

$f(1)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^1=\dfrac{4}{5}$

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d) Verdadeira, pois:

$g(0)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^0=1$

$f[g(0)]=f(1)=\dfrac{4}{5}$

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e) Verdadeira, pois:

$g(1)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^1=\dfrac{5}{4}$

Logo:

$f(-1)+g(1)=\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{2}$

0815

Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função $F(t)=a\cdot 2^{-bt}$, onde a variável $t$ é dada em anos e $a$ e $b$ são constantes.

a) Encontre as constantes $a$ e $b$ de modo que a população inicial ($t=0$) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.

b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a $\dfrac{1}{8}$ da população inicial?

c) Esboce o gráfico da função $F(t)$ para $t\in\,[0;\,40]$.

0815 - Soluções

a) Encontre as constantes $a$ e $b$ de modo que a população inicial ($t=0$) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.

Para $t=0\to F(0)=a\cdot 2^{-b\cdot 0}=1024\to a=1024\,(I)$

Para $t=10\to F(10)=a\cdot 2^{-b\cdot 10}=512\,(II)$

Substituindo (I) em (II), teremos:

$1024\cdot 2^{-10b}=512\to 2^{-10b}=2^{-1}\to b=\dfrac{1}{10}$

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b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a $\dfrac{1}{8}$ da população inicial?

Pelos dados, temos $F(t)=\dfrac{1}{8}\cdot 1024=128$. Assim:

$1024\cdot 2^{-\frac{1}{10}t}=128\to -\dfrac{t}{10}=-3\to t=30$ anos

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c) Esboce o gráfico da função $F(t)$ para $t\in\,[0;\,40]$.

Obtendo alguns pontos, dentro do intervalo requerido, para a construção gráfica:

$F(10)=512$

$F(20)=1024\cdot 2^{-\frac{1}{10}\cdot 20}=256$

$F(40)=1024\cdot 2^{-\frac{1}{10}\cdot 40}=64$

Portanto, $F(t)$ no intervalo requerido $[0;\,40]$ será:

0814

Sejam $f$ e $g$ funções reais de variável real definidas por:

$f(x)=\dfrac{17}{2^x+1}$

$g(x)=3+2x-x^2$

Obtenha o valor de $f(g(x))$.

0814 - Solução

Obtendo o valor de $f(g(x))$:

Temos $f(g(x))=\dfrac{17}{2^{g(x)}+1}$. Assim, quanto maior for o valor de $2^{g(x)}+1$, menor será o valor de $f(g(x))$. Logo $f(g(x))$ assumirá um valor mínimo quando $2^{g(x)}+1$ assumir um valor máximo, o que ocorrerá quando $g(x)$ assumir um valor máximo. Como $g(x)=3+2x-x^2$, trata-se de uma função quadrática e, como o coeficiente de $x^2$ é negativo, seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo e, portanto, ela assumirá um valor máximo, o qual ocorrerá quando o valor de $x$ for igual à abscissa do vértice, isto é, quando $x=\dfrac{-2}{2\cdot(-1)}=1$. Assim, $g(1)$ é o valor máximo assumido pela função $g$ e, portanto, o valor mínimo da função composta será:

$f(g(1))=\dfrac{17}{2^{g(1)}+1}=\dfrac{17}{2^{4}+1}=1$

0813

A relação $P=32000\cdot\left(1-2^{-0,1t}\right)$ descreve o crescimento de uma população $P$ de bactérias, $t$ dias após o instante zero. Para $P>31000$, qual o valor mínimo de $t$?

0813 - Solução

$32000\cdot\left(1-2^{-0,1t}\right)>31000\to 32\cdot\left(1-2^{-0,1t}\right)>31\to$

$32-32\cdot 2^{-0,1t}>31\to -32\cdot 2^{-0,1t}>-1$ (invertendo a desigualdade)

$32\cdot 2^{-0,1t}<1\to 2^{-0,1t}<\dfrac{1}{32}\to 2^{-0,1t}<2^{-5}\to$

$-0,1\cdot t<-5\to\boxed{t>50}$

Portanto, o valor mínimo de $t$ será de 51 dias.

0812

Seja $a\in\mathbb{R}$ com $a>1$. Obtenha o conjunto de todas as soluções reais da inequação:

$a^{2x(1-x)}>a^{x-1}$

0812 - Solução

Para $a\in\mathbb{R}$ com $a>1$, vamos obter o conjunto de todas as soluções reais da inequação:

$a^{2x(1-x)}>a^{x-1}\Leftrightarrow 2x(1-x)>x-1\Leftrightarrow 2x^2-x-1<0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\,<x\,1$

Assim, o conjunto solução será o intervalo: $\left]-\dfrac{1}{2};\,\,1\right[$

0811

Para $x\in\mathbb{R}$, resolva a inequação: $\left(0,7\right)^{x(x-3)}<\left(0,49\right)^{x-2}$.

0811 - Solução

Para $x\in\mathbb{R}$, vamos resolver a inequação:

$\left(0,7\right)^{x(x-3)}<\left(0,49\right)^{x-2}\to \left(0,7\right)^{x^2-3x}<\left(0,7\right)^{2x-4}\to$

$x^2-3x>2x-4\to x^2-5x+4>0$

A equação $x^2-5x+4$ terá raízes reais: $x_{1}=4$ e $x_{2}=1$

O estudo dos sinais da função $y=x^2-5x+4$ será:

Desse estudo, retiramos a solução(S) que será: $S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<1\,\,\text{ou}\,\,x>4\}$

0810

Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo $t$, em horas, de acordo com a fórmula $m=-3^{2t}-3^{t+1}+108$. Obtenha o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente.

0810 - Solução

Para que o material se volatilize totalmente, devemos ter $m>0$, ou seja:

$-3^{2t}-3^{t+1}+108>0\to -\left(3^{t}\right)^2-3^{t}\cdot3^1+108>0$

Fazendo $3^t=k$, teremos:

$-k^2-3k+108>0\to k^2+3k-108<0$

Resolvendo a equação: $k^2+3k-108=0\to k_{1}=-12$ e $k_{2}=9$

Obtendo os sinais para a inequação $k^2+3k-108<0$, teremos:

Ou seja, $-12<k<9$. Voltando à equação inicial, teremos:

$-12<3^t<9$, que desmembrada, fica:

$3^t>-12\,(\forall\,t\in\mathbb{R})$

$3^t<9\to 3^t<3^2\to t<2\,\text{h}$ ou $t<120\,\text{min}$

0809

Determine o domínio da função:

$f(x)=\sqrt{8^x-\dfrac{1}{8}}$

0809 - Solução

Para determinar o domínio dessa função, devemos ter:

$8^x-\dfrac{1}{8}\geq 0\to 8^x\geq \dfrac{1}{8}\to 8^x\geq 8^{-1}\to\ldots\to\boxed{x\geq -1}$

0808

Obtenha o conjunto de todos os valores de $x$ para os quais $1\leq 4^{\frac{x}{4}}<8^2$

0808 - Solução

Obtendo o conjunto de todos os valores de $x$ para os quais $1\leq 4^{\frac{x}{4}}<8^2$, devemos resolver o sistema formado pelas inequações:

$\left\{\begin{array}{rclc} 4^{\frac{x}{4}} & < & 8^2 & (I)\\\\ 4^{\frac{x}{4}} & \geq & 1 & (II) \end{array}\right.$

De (I) $\left(2^2\right)^{\frac{x}{4}}<(2^3)^2\to \dfrac{x}{2}<6\to x<12$

De (II) $4^{\frac{x}{4}}\geq 4^0\to \dfrac{x}{4}\geq 0\to x\geq 0$

Fazendo a interseção dessas soluções, teremos:

Portanto, a solução(S) será: $S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,0\leq x <12 \right\}$

0807

Obtenha o conjunto solução(S) para a inequação:

$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3-x}>\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2x+4}$

0807 - Solução

Obtendo o conjunto solução(S) para a inequação:

$\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3-x}>\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2x+4}\to \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3-x}>\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2x-4}\to$

$3-x<-2x-4\to -x+2x<-4-3\to\boxed{x<-7}$

0806

Duas questões:

a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:

"Como $\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{8}$ tem-se $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2>\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ e conclui-se que $2>3$"

Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão errônea.

b) Sem cometer o mesmo erro de José, determine o menor número $m$, inteiro e positivo, que satisfaz a inequação:

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{m}}>\left(\dfrac{1}{4}\right)^{m+1}$

0806 - Solução

a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:

"Como $\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{8}$ tem-se $\left(\dfrac{1}{2}\right)^2>\left(\dfrac{1}{2}\right)^3$ e conclui-se que $2>3$"

Identificando o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão errônea.:

José cometeu o erro na última etapa de seu raciocínio, uma vez que a função exponencial dada por $f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ é decrescente, ou seja, à medida que aumentamos o valor de $x$, o valor de $f(x)$ diminui.

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b) Determinando o menor número $m$, inteiro e positivo, que satisfaz a inequação dada:

$\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{m}}>\left(\dfrac{1}{4}\right)^{m+1}\to \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{m}}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2m+2}\to$

$\dfrac{4}{m}<2m+2\to \dfrac{4}{m}-2m-2<0\to \dfrac{4-2m^2-2m}{m}<0$

$\dfrac{2m^2+2m-4}{m}>0\to \dfrac{2(m-1)(m+2)}{m}>0$

Como $m>0$, teremos:

$\dfrac{2(m-1)(m+2)}{m}>0\to (m-1)(m+2)>0$, ou seja $\boxed{m<-2}$ ou $\boxed{m>1}$

0805

Calcule a área de um quadrado de lado $a$ sabendo que o raio da circunferência circunscrita a esse quadrado mede $2\sqrt{2}\,\text{cm}$.

0805 - Solução

Calculando a área de um quadrado de lado $a$ sabendo que o raio da circunferência circunscrita a esse quadrado mede $2\sqrt{2}\,\text{cm}$.

Observe a construção geométrica dessa situação:

Das fórmulas relacionadas aos quadrados, sabemos que a diagonal(d) é dada por: $d=a\cdot\sqrt{2}$

No caso, é visível que o raio da circunferência circunscrita vale exatos $\dfrac{d}{2}$

Assim $d=4\cdot\sqrt{2}$. Aplicando à fórmula da diagonal(d), teremos:

$d=a\cdot\cancel{\sqrt{2}}\to 4\cdot\cancel{\sqrt{2}}=a\cdot\sqrt{2}\to\boxed{a=4}$

Portanto a área(A) do quadrado será: $A=a^2\to A=4^2\to\boxed{A=16\,\text{cm}^2}$

804

Sabendo que o raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular mede 3cm, calcule a área desse hexágono.

0804 - Solução

Observe a construção geométrica dessa situação:

Sabemos que, se unirmos todas as diagonais de um hexágono regular, internamente, teremos a formação de 6(seis) triângulos equiláteros cujos lados(a) medem exatamente o raio da circunferência circunscrita a esse hexágono regular. No caso $a=3$cm. Também é sabido que a área(A) de um triângulo equilátero tem uma fórmula particular, isto é $A=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}$. Disso, podemos concluir que a área do hexágono($A_{h}$) pode ser calculada por:

$A_{h}=6\cdot A$, ou ainda $A_{h}=6\cdot \dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}$. Para $a=3$, teremos:

$A_{h}=6\cdot \dfrac{3^2\cdot\sqrt{3}}{4}\to\boxed{A_{h}=\dfrac{27\cdot\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}^2}$

0803

Obtenha a área da região sombreada, sendo o raio de cada circunferência 2cm.

803 - Solução

A área($A_{h}$) da região hachurada será a subtração da área do quadrado de lado 4cm, menos a área de uma circunferência(inteira) de raio 2cm, ou seja:

$A_{h}=4^2-\pi\cdot 2^2\to\boxed{A_{h}=4(4-\pi)\,\text{cm}^2}$

0802

Um trabalho pode ser feito em 2 horas pela pessoa $A$, em 3 horas pela pessoa $B$ e em 6 horas pela pessoa $C$. Em quanto tempo o mesmo trabalho será concluído pelas três pessoas juntas?

0802 - Solução

Vamos à solução:

Em 1 hora:

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1$, isto é, o trabalho todo.

0801

Dois operários levam 12 horas para fazer um trabalho. O primeiro, sozinho, leva 20 horas. Que tempo leva um segundo operário trabalhando sozinho?

0801 - Solução

Vamos à solução:

Em 1 hora:

$\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}$

Em 12 horas, o trabalho está concluído:

$12\cdot\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}\right)=1\Rightarrow\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12}\to\ldots\to\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{30}\to\boxed{x=30\,\text{h}}$