Curva de Aprendizagem é um conceito criado pelos psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão:
Q(t)=700−400⋅e(−0,5)t
onde Q é a quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; t é o tempo de experiência, em meses e e≈2,7183.
a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente?
b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?
c) Compare esses resultados e avalie se há coerência entre eles.
0825 - Soluções
a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente?
Q(2)=700−400⋅e(−0,5)t→Q(2)=700−e400→Q(2)≈552
b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?
Q(0)=700−400⋅e(−0,5)⋅0→Q(0)=300
c) Compare esses resultados e avalie se há coerência entre eles.
Comparando esses resultados, observamos que Q(2)>Q(0), isto é, a eficiência de um funcionário com dois meses de experiência é maior que a de um funcionário sem qualquer experiência, havendo, portanto, coerência entre os resultados obtidos.
O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por T(t)=TA+α⋅3βt, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, T(A) é a temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de −18oC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0oC após 90 minutos e chegou a −16oC após 270 minutos.
a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β.
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas (32)oC superior à temperatura ambiente.
0823 - Soluções
a) Encontrando os valores numéricos das constantes α e β:
Vamos montar(e resolver) um sistema de equações em função de α e β, com os dados da questão; assim:
{0−16==−18+α⋅390β−18+α⋅3270β→
{α⋅390βα⋅3270β==182(÷)→
α⋅3270βα⋅390β=218→
390β−270β=32→90β−270β=2→β=−901
Substituindo β=−901 em qualquer das equações de α, teremos:
α⋅390(−901)=18→α⋅3−1=18→α=54
b) Determinando o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas (32)oC superior à temperatura ambiente:
Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores A e B variava em função do tempo t, em anos, de acordo com as seguintes funções:
A(t)=2⋅105⋅(1,6)tB(t)=4⋅105⋅(0,4)t
Considere as estimativas corretas e que t=0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2018.
a) Calcule o número de eleitores dos candidatos A e B em 1 de janeiro de 2018.
b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.
c) Mostre que, em 1 de outubro de 2018, a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1(um).
0822 - Soluções
a) Calculando o número de eleitores dos candidatos A e B em 1 de janeiro de 2018:
A(0)=2⋅105⋅(1,6)0→A(0)=200.000eleitores
B(0)=4⋅104⋅(0,4)0→B(0)=400.000eleitores
b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores:
A(t)=B(t)→2⋅105⋅(1,6)t=4⋅105⋅(0,4)t→
(0,41,6)t=2⋅1054⋅105→4t=2→t=21 ano→t=6meses
c) Mostrando que, em 1 de outubro de 2018, a razão entre os números de eleitores de A e B era maior que 1(um):
Nessa solução vamos adotar a data de 1 de outubro de 2018 como t=43 do ano:
Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d), a partir de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y=ex:
Utilizando f(d)=100−100⋅e(−0,2)d e o gráfico acima, qual o valor de d, para que a empresa possa prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia?
Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função Q definida, para t≥0, por Q(t)=k⋅5kt, sendo t o tempo, em minutos, e k uma constante. A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25⋅Q(0). Quantos de bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto?
O crescimento de uma cultura de bactérias obedece à função N(t)=600⋅3kt, em que N é o número de bactérias no instante t, sendo t o tempo em horas. A produção tem início em t=0. Decorridas 12horas há um total de 1800 bactérias. Obtenha o valor de k e o número de bactérias, após 24horas, do início da produção.
Conforme dados obtidos pelo IBGE, relativos às taxas de analfabetismo da população brasileira de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possível ajustar uma curva de equação y=30⋅kx+10, onde K>0, representada por:
a) Determine o valor de k.
b) Obtenha as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (valor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.
0817 - Soluções
a) Determinando o valor de k:
Sendo x=30 e y=20, teremos:
20=30⋅k30+10→k=(31)301=3031
b) Obtendo as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (valor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.
b.1) O ano de 1960 corresponde a x=0. Logo:
y=30⋅[(31)301]0+10→y=40%
b.2) O ano de 2020 corresponde a 2020−1960=60, isto é, x=60. Logo:
Dadas as funções definidas por f(x)=(54)x e g(x)=(45)x. Classifique, justificando, cada afirmativa a seguir:
a) Os gráficos de f(x) e g(x) não se interceptam.
b) f(x) é crescente e g(x) é decrescente.
c) g(−2)⋅f(−1)=f(1).
d) f[g(0)]=f(1).
e) f(−1)+g(1)=25.
Dado: Gráfico das duas funções, no mesmo plano cartesiano
0816 - Soluções
A partir do gráfico acima e das equações, poderemos verificar cada afirmativa; assim:
a) Falso, pois os gráficos se encontram em (0;1) como todas as funções (apenas) exponenciais, ou seja, sem quaisquer elementos que alterem ou desloquem esses gráficos.
b) Falso, pois f(x) é, visivelmente, decrescente e g(s) e, visivelmente, crescente.
Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função F(t)=a⋅2−bt, onde a variável t é dada em anos e a e b são constantes.
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 81 da população inicial?
c) Esboce o gráfico da função F(t) para t∈[0;40].
0815 - Soluções
a) Encontre as constantes a e b de modo que a população inicial (t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
Para t=0→F(0)=a⋅2−b⋅0=1024→a=1024(I)
Para t=10→F(10)=a⋅2−b⋅10=512(II)
Substituindo (I) em (II), teremos:
1024⋅2−10b=512→2−10b=2−1→b=101
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 81 da população inicial?
Pelos dados, temos F(t)=81⋅1024=128. Assim:
1024⋅2−101t=128→−10t=−3→t=30 anos
c) Esboce o gráfico da função F(t) para t∈[0;40].
Obtendo alguns pontos, dentro do intervalo requerido, para a construção gráfica:
F(10)=512
F(20)=1024⋅2−101⋅20=256
F(40)=1024⋅2−101⋅40=64
Portanto, F(t) no intervalo requerido [0;40] será:
Sejam f e g funções reais de variável real definidas por:
f(x)=2x+117
g(x)=3+2x−x2
Obtenha o valor de f(g(x)).
0814 - Solução
Obtendo o valor de f(g(x)):
Temos f(g(x))=2g(x)+117. Assim, quanto maior for o valor de 2g(x)+1, menor será o valor de f(g(x)). Logo f(g(x)) assumirá um valor mínimo quando 2g(x)+1 assumir um valor máximo, o que ocorrerá quando g(x) assumir um valor máximo. Como g(x)=3+2x−x2, trata-se de uma função quadrática e, como o coeficiente de x2 é negativo, seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo e, portanto, ela assumirá um valor máximo, o qual ocorrerá quando o valor de x for igual à abscissa do vértice, isto é, quando x=2⋅(−1)−2=1. Assim, g(1) é o valor máximo assumido pela função g e, portanto, o valor mínimo da função composta será:
A relação P=32000⋅(1−2−0,1t) descreve o crescimento de uma população P de bactérias, t dias após o instante zero. Para P>31000, qual o valor mínimo de t?
0813 - Solução
32000⋅(1−2−0,1t)>31000→32⋅(1−2−0,1t)>31→
32−32⋅2−0,1t>31→−32⋅2−0,1t>−1 (invertendo a desigualdade)
Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo t, em horas, de acordo com a fórmula m=−32t−3t+1+108. Obtenha o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente.
0810 - Solução
Para que o material se volatilize totalmente, devemos ter m>0, ou seja:
−32t−3t+1+108>0→−(3t)2−3t⋅31+108>0
Fazendo 3t=k, teremos:
−k2−3k+108>0→k2+3k−108<0
Resolvendo a equação: k2+3k−108=0→k1=−12 e k2=9
Obtendo os sinais para a inequação k2+3k−108<0, teremos:
Ou seja, −12<k<9. Voltando à equação inicial, teremos:
a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:
"Como 41>81 tem-se (21)2>(21)3 e conclui-se que 2>3"
Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão errônea.
b) Sem cometer o mesmo erro de José, determine o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz a inequação:
(21)m4>(41)m+1
0806 - Solução
a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:
"Como 41>81 tem-se (21)2>(21)3 e conclui-se que 2>3"
Identificando o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão errônea.:
José cometeu o erro na última etapa de seu raciocínio, uma vez que a função exponencial dada por f(x)=(21)x é decrescente, ou seja, à medida que aumentamos o valor de x, o valor de f(x) diminui.
b) Determinando o menor número m, inteiro e positivo, que satisfaz a inequação dada:
(21)m4>(41)m+1→(21)m4>(21)2m+2→
m4<2m+2→m4−2m−2<0→m4−2m2−2m<0
m2m2+2m−4>0→m2(m−1)(m+2)>0
Como m>0, teremos:
m2(m−1)(m+2)>0→(m−1)(m+2)>0, ou seja m<−2 ou m>1
Sabendo que o raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular mede 3cm, calcule a área desse hexágono.
0804 - Solução
Observe a construção geométrica dessa situação:
Sabemos que, se unirmos todas as diagonais de um hexágono regular, internamente, teremos a formação de 6(seis) triângulos equiláteros cujos lados(a) medem exatamente o raio da circunferência circunscrita a esse hexágono regular. No caso a=3cm. Também é sabido que a área(A) de um triângulo equilátero tem uma fórmula particular, isto é A=4a2⋅3. Disso, podemos concluir que a área do hexágono(Ah) pode ser calculada por:
Ah=6⋅A, ou ainda Ah=6⋅4a2⋅3. Para a=3, teremos:
Um trabalho pode ser feito em 2 horas pela pessoa A, em 3 horas pela pessoa B e em 6 horas pela pessoa C. Em quanto tempo o mesmo trabalho será concluído pelas três pessoas juntas?