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0825¶
Curva de Aprendizagem é um conceito criado pelos psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão:
\(Q(t)=700-400\cdot e^{(-0,5)\,t}\)
onde \(Q\) é a quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; \(t\) é o tempo de experiência, em meses e \(e\approx\,2,7183\).
a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente?
b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?
c) Compare esses resultados e avalie se há coerência entre eles.
0825 - Soluções
a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente?
\(Q(2)=700-400\cdot e^{(-0,5)\,t}\to Q(2)=700-\dfrac{400}{e}\to \boxed{Q(2)\approx 552}\)
b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?
\(Q(0)=700-400\cdot e^{(-0,5)\cdot 0}\to \boxed{Q(0)=300}\)
c) Compare esses resultados e avalie se há coerência entre eles.
Comparando esses resultados, observamos que \(Q(2)>Q(0)\), isto é, a eficiência de um funcionário com dois meses de experiência é maior que a de um funcionário sem qualquer experiência, havendo, portanto, coerência entre os resultados obtidos.
0824¶
Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa é dada por:
\(S(p)=\dfrac{11}{100}\cdot p^{\frac{2}{3}}\)
onde \(p\) é a massa da pessoa, em quilogramas. Considerando uma criança de 8 kg, determine:
a) A área da superfície corporal da criança.
b) A massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar (use a aproximação \(\sqrt{2}=1,4\)).
0824 - Soluções
a) A área da superfície corporal da criança.
\(S(8)=\dfrac{11}{100}\cdot 8^{\frac{2}{3}}\to S(8)=\dfrac{44}{100}\to\boxed{S(8)=0,44\,\text{m}^2}\)
b) A massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar (use a aproximação \(\sqrt{2}=1,4\)).
Duplicando a área corporal, teremos \(0,88\text{m}^2\), portanto:
\(\dfrac{11}{100}\cdot p^{\frac{2}{3}}=0,88\,(p>0)\to p^{\frac{2}{3}}=8\to p=2^4\cdot\sqrt{2}=16\cdot 1,4\to 22,4\) kg.
0823¶
O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por \(T(t)=T_{A}+\alpha\cdot 3^{\beta\,t}\), onde \(T(t)\) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante \(t\), dado em minutos, \(T(A)\) é a temperatura ambiente, suposta constante, e \(\alpha\) e \(\beta\) são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de \(-18^{o}\)C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu \(0^{o}\)C após \(90\) minutos e chegou a \(-16^{o}\)C após 270 minutos.
a) Encontre os valores numéricos das constantes \(\alpha\) e \(\beta\).
b) Determine o valor de \(t\) para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{o}\)C superior à temperatura ambiente.
0823 - Soluções
a) Encontrando os valores numéricos das constantes \(\alpha\) e \(\beta\):
Vamos montar(e resolver) um sistema de equações em função de \(\alpha\) e \(\beta\), com os dados da questão; assim:
\(\left\{\begin{array}{rcl} 0 & = & -18+\alpha\cdot 3^{90\beta}\\ -16 & = & -18+\alpha\cdot 3^{270\beta}\\ \end{array}\right.\rightarrow\)
\(\left\{\begin{array}{rcl} \alpha\cdot 3^{90\beta} & = & 18\\ \alpha\cdot 3^{270\beta} & = & 2\quad(\div)\\ \end{array}\right.\rightarrow\)
\(\dfrac{\cancel{\alpha}\cdot 3^{90\beta}}{\cancel{\alpha}\cdot 3^{270\beta}}=\dfrac{18}{2}\to\)
\(3^{90\beta-270\beta}=3^2\to 90\beta-270\beta=2\to\boxed{\beta=-\dfrac{1}{90}}\)
Substituindo \(\beta=-\dfrac{1}{90}\) em qualquer das equações de \(\alpha\), teremos:
\(\alpha\cdot 3^{90\left(-\frac{1}{90}\right)}=18\to\alpha\cdot 3^{-1}=18\to\boxed{\alpha=54}\)
b) Determinando o valor de \(t\) para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{o}\)C superior à temperatura ambiente:
Para \(T=\left(-18+\dfrac{2}{3}\right)^{o}\)C, teremos:
\(\cancel{-18}+\dfrac{2}{3}=\cancel{-18}+54\cdot 3^{-\frac{1}{90}\,t}\to\dfrac{2}{3}=54\cdot 3^{-\frac{1}{90}\,t}\)
\(\dfrac{1}{3}=27\cdot 3^{-\frac{1}{90}\,t}\to\ldots\to 3^{-4}=3^{-\frac{1}{90}\,t}\to\boxed{t=360\,\text{min}}\)
0822¶
Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores \(A\) e \(B\) variava em função do tempo \(t\), em anos, de acordo com as seguintes funções:
\(\boxed{A(t)=2\cdot 10^5\cdot (1,6)^t}\quad\quad\boxed{B(t)=4\cdot 10^5\cdot(0,4)^t}\)
Considere as estimativas corretas e que \(t=0\) refere-se ao dia 1 de janeiro de 2018.
a) Calcule o número de eleitores dos candidatos \(A\) e \(B\) em 1 de janeiro de 2018.
b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.
c) Mostre que, em 1 de outubro de 2018, a razão entre os números de eleitores de \(A\) e \(B\) era maior que 1(um).
0822 - Soluções
a) Calculando o número de eleitores dos candidatos \(A\) e \(B\) em 1 de janeiro de 2018:
\(A(0)=2\cdot 10^5\cdot (1,6)^0\to\boxed{A(0)=200.000\,\text{eleitores}}\)
\(B(0)=4\cdot 10^4\cdot (0,4)^0\to\boxed{B(0)=400.000\,\text{eleitores}}\)
b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores:
\(A(t)=B(t)\to 2\cdot 10^5\cdot (1,6)^t=4\cdot 10^5\cdot(0,4)^t\to\)
\(\left(\dfrac{1,6}{0,4}\right)^t=\dfrac{4\cdot \cancel{10^5}}{2\cdot \cancel{10^5}}\to 4^t=2\to t=\dfrac{1}{2}\,\text{ ano}\to t=6\,\text{meses}\)
c) Mostrando que, em 1 de outubro de 2018, a razão entre os números de eleitores de \(A\) e \(B\) era maior que 1(um):
Nessa solução vamos adotar a data de 1 de outubro de 2018 como \(t=\dfrac{3}{4}\) do ano:
\(\dfrac{A\left(\dfrac{3}{4}\right)}{B\left(\dfrac{3}{4}\right)}=\dfrac{2\cdot 10^5\cdot(1,6)^{\frac{3}{4}}}{4\cdot 10^5\cdot(0,4)^{\frac{3}{4}}}=\dfrac{1} {2}\cdot 4^{\frac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}>1\)
0821¶
Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função \(f(d)\), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia \((d)\), a partir de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função \(y=e^x\):
Utilizando \(f(d)=100-100\cdot e^{(-0,2)\,d}\) e o gráfico acima, qual o valor de \(d\), para que a empresa possa prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia?
0821 - Solução
Pelos dados, teremos:
\(f(d)=87\to 100-100\cdot e^{(-0,2)\,d}=87\to\boxed{e^{-0,2d}=0,13}\)
Pelo gráfico, temos que \(e^{-2}=0,13\). Como \(0,13=0,13\):
\(e^{(-0,2)\,d}=e^{-2}\to d=\dfrac{-2}{-0,2}\to\boxed{d=10\,\text{dias}}\)
0820¶
Obtenha a solução da equação exponencial \(5^x\cdot(5^x-1)=20\).
0820 - Solução
Façamos \(5^x=k\):
\(k(k-1)=20\to k^2-k-20=0\to\) por Bhaskara: \(k_{1}=5\) ou \(k_{2}=-4\)
Se \(k=5\Rightarrow 5^x=5\to\boxed{x=1}\)
Se \(k=-4\Rightarrow 5^x=-4\to\nexists\,x\in\mathbb{R}\)
0819¶
Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função \(Q\) definida, para \(t\geq 0\), por \(Q(t)=k\cdot 5^{kt}\), sendo \(t\) o tempo, em minutos, e \(k\) uma constante. A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de \(Q(0)\), torna-se, no quarto minuto, igual a \(25\cdot Q(0)\). Quantos de bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto?
0819 - Solução
Pelos dados, teremos:
Se \(t=0\to Q(0)=k\cdot 5^0=k\)
Se \(t=4\to Q(4)=k\cdot 5^{4k}\)
Como \(Q(4)=25\cdot Q(0)\), teremos:
\(k\cdot5^{4k}=25\cdot k\to 5^{4k}=25\to\boxed{k=\dfrac{1}{2}}\)
Portanto: \(Q(8)=\dfrac{1}{2}\cdot 5^{\frac{1}{2}\cdot 8}\to\boxed{Q(8)=312,5}\)
0818¶
O crescimento de uma cultura de bactérias obedece à função \(N(t)=600\cdot 3^{kt}\), em que \(N\) é o número de bactérias no instante \(t\), sendo \(t\) o tempo em horas. A produção tem início em \(t=0\). Decorridas 12horas há um total de 1800 bactérias. Obtenha o valor de \(k\) e o número de bactérias, após 24horas, do início da produção.
0818 - Solução
Quando \(t=12\)h, temos:
\(1800=600\cdot 3^{k\cdot 12}\to 3^{12k}=3\to 12k=1\to\boxed{k=\dfrac{1}{12}}\)
Quando \(t=24\)h, teremos:
\(N(24)=600\cdot 3^{\frac{1}{12}\cdot 12}\to N(t)=600\cdot 3^2\to\boxed{N(t)=5400\,\text{bactérias}}\)
0817¶
Conforme dados obtidos pelo IBGE, relativos às taxas de analfabetismo da população brasileira de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possível ajustar uma curva de equação \(y=30\cdot k^x + 10\), onde \(K>0\), representada por:
a) Determine o valor de \(k\).
b) Obtenha as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (valor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.
0817 - Soluções
a) Determinando o valor de \(k\):
Sendo \(x=30\) e \(y=20\), teremos:
\(20=30\cdot k^{30}+10\to\boxed{k=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{30}}=\sqrt[30]{\dfrac{1}{3}}}\)
b) Obtendo as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (valor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.
b.1) O ano de 1960 corresponde a \(x=0\). Logo:
\(y=30\cdot\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{30}}\right]^{0}+10\to\boxed{y=40\%}\)
b.2) O ano de 2020 corresponde a \(2020-1960=60\), isto é, \(x=60\). Logo:
\(y=30\cdot\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{30}}\right]^{60}+10\to\boxed{y=\dfrac{40}{3}\approx 13,33\%}\)
0816¶
Dadas as funções definidas por \(f(x)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^x\) e \(g(x)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^x\). Classifique, justificando, cada afirmativa a seguir:
a) Os gráficos de \(f(x)\) e \(g(x)\) não se interceptam.
b) \(f(x)\) é crescente e \(g(x)\) é decrescente.
c) \(g(-2)\cdot f(-1)=f(1)\).
d) \(f[g(0)]=f(1)\).
e) \(f(-1)+g(1)=\dfrac{5}{2}\).
Dado: Gráfico das duas funções, no mesmo plano cartesiano
0816 - Soluções
A partir do gráfico acima e das equações, poderemos verificar cada afirmativa; assim:
a) Falso, pois os gráficos se encontram em \((0;\,1)\) como todas as funções (apenas) exponenciais, ou seja, sem quaisquer elementos que alterem ou desloquem esses gráficos.
b) Falso, pois \(f(x)\) é, visivelmente, decrescente e \(g(s)\) e, visivelmente, crescente.
c) Verdadeira, pois:
\(g(-2)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}=\dfrac{16}{25}\)
\(f(-1)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{4}\)
\(f(1)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^1=\dfrac{4}{5}\)
d) Verdadeira, pois:
\(g(0)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^0=1\)
\(f[g(0)]=f(1)=\dfrac{4}{5}\)
e) Verdadeira, pois:
\(g(1)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^1=\dfrac{5}{4}\)
Logo:
\(f(-1)+g(1)=\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{2}\)
0815¶
Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função \(F(t)=a\cdot 2^{-bt}\), onde a variável \(t\) é dada em anos e \(a\) e \(b\) são constantes.
a) Encontre as constantes \(a\) e \(b\) de modo que a população inicial (\(t=0\)) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a \(\dfrac{1}{8}\) da população inicial?
c) Esboce o gráfico da função \(F(t)\) para \(t\in\,[0;\,40]\).
0815 - Soluções
a) Encontre as constantes \(a\) e \(b\) de modo que a população inicial (\(t=0\)) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.
Para \(t=0\to F(0)=a\cdot 2^{-b\cdot 0}=1024\to a=1024\,(I)\)
Para \(t=10\to F(10)=a\cdot 2^{-b\cdot 10}=512\,(II)\)
Substituindo (I) em (II), teremos:
\(1024\cdot 2^{-10b}=512\to 2^{-10b}=2^{-1}\to b=\dfrac{1}{10}\)
b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a \(\dfrac{1}{8}\) da população inicial?
Pelos dados, temos \(F(t)=\dfrac{1}{8}\cdot 1024=128\). Assim:
\(1024\cdot 2^{-\frac{1}{10}t}=128\to -\dfrac{t}{10}=-3\to t=30\) anos
c) Esboce o gráfico da função \(F(t)\) para \(t\in\,[0;\,40]\).
Obtendo alguns pontos, dentro do intervalo requerido, para a construção gráfica:
\(F(10)=512\)
\(F(20)=1024\cdot 2^{-\frac{1}{10}\cdot 20}=256\)
\(F(40)=1024\cdot 2^{-\frac{1}{10}\cdot 40}=64\)
Portanto, \(F(t)\) no intervalo requerido \([0;\,40]\) será:
0814¶
Sejam \(f\) e \(g\) funções reais de variável real definidas por:
\(f(x)=\dfrac{17}{2^x+1}\)
\(g(x)=3+2x-x^2\)
Obtenha o valor de \(f(g(x))\).
0814 - Solução
Obtendo o valor de \(f(g(x))\):
Temos \(f(g(x))=\dfrac{17}{2^{g(x)}+1}\). Assim, quanto maior for o valor de \(2^{g(x)}+1\), menor será o valor de \(f(g(x))\). Logo \(f(g(x))\) assumirá um valor mínimo quando \(2^{g(x)}+1\) assumir um valor máximo, o que ocorrerá quando \(g(x)\) assumir um valor máximo. Como \(g(x)=3+2x-x^2\), trata-se de uma função quadrática e, como o coeficiente de \(x^2\) é negativo, seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo e, portanto, ela assumirá um valor máximo, o qual ocorrerá quando o valor de \(x\) for igual à abscissa do vértice, isto é, quando \(x=\dfrac{-2}{2\cdot(-1)}=1\). Assim, \(g(1)\) é o valor máximo assumido pela função \(g\) e, portanto, o valor mínimo da função composta será:
\(f(g(1))=\dfrac{17}{2^{g(1)}+1}=\dfrac{17}{2^{4}+1}=1\)
0813¶
A relação \(P=32000\cdot\left(1-2^{-0,1t}\right)\) descreve o crescimento de uma população \(P\) de bactérias, \(t\) dias após o instante zero. Para \(P>31000\), qual o valor mínimo de \(t\)?
0813 - Solução
\(32000\cdot\left(1-2^{-0,1t}\right)>31000\to 32\cdot\left(1-2^{-0,1t}\right)>31\to\)
\(32-32\cdot 2^{-0,1t}>31\to -32\cdot 2^{-0,1t}>-1\) (invertendo a desigualdade)
\(32\cdot 2^{-0,1t}<1\to 2^{-0,1t}<\dfrac{1}{32}\to 2^{-0,1t}<2^{-5}\to\)
\(-0,1\cdot t<-5\to\boxed{t>50}\)
Portanto, o valor mínimo de \(t\) será de 51 dias.
0812¶
Seja \(a\in\mathbb{R}\) com \(a>1\). Obtenha o conjunto de todas as soluções reais da inequação:
\(a^{2x(1-x)}>a^{x-1}\)
0812 - Solução
Para \(a\in\mathbb{R}\) com \(a>1\), vamos obter o conjunto de todas as soluções reais da inequação:
\(a^{2x(1-x)}>a^{x-1}\Leftrightarrow 2x(1-x)>x-1\Leftrightarrow 2x^2-x-1<0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\,<x\,1\)
Assim, o conjunto solução será o intervalo: \(\left]-\dfrac{1}{2};\,\,1\right[\)
0811¶
Para \(x\in\mathbb{R}\), resolva a inequação: \(\left(0,7\right)^{x(x-3)}<\left(0,49\right)^{x-2}\).
0811 - Solução
Para \(x\in\mathbb{R}\), vamos resolver a inequação:
\(\left(0,7\right)^{x(x-3)}<\left(0,49\right)^{x-2}\to \left(0,7\right)^{x^2-3x}<\left(0,7\right)^{2x-4}\to\)
\(x^2-3x>2x-4\to x^2-5x+4>0\)
A equação \(x^2-5x+4\) terá raízes reais: \(x_{1}=4\) e \(x_{2}=1\)
O estudo dos sinais da função \(y=x^2-5x+4\) será:
Desse estudo, retiramos a solução(S) que será: \(S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<1\,\,\text{ou}\,\,x>4\}\)
0810¶
Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo \(t\), em horas, de acordo com a fórmula \(m=-3^{2t}-3^{t+1}+108\). Obtenha o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente.
0810 - Solução
Para que o material se volatilize totalmente, devemos ter \(m>0\), ou seja:
\(-3^{2t}-3^{t+1}+108>0\to -\left(3^{t}\right)^2-3^{t}\cdot3^1+108>0\)
Fazendo \(3^t=k\), teremos:
\(-k^2-3k+108>0\to k^2+3k-108<0\)
Resolvendo a equação: \(k^2+3k-108=0\to k_{1}=-12\) e \(k_{2}=9\)
Obtendo os sinais para a inequação \(k^2+3k-108<0\), teremos:
Ou seja, \(-12<k<9\). Voltando à equação inicial, teremos:
\(-12<3^t<9\), que desmembrada, fica:
\(3^t>-12\,(\forall\,t\in\mathbb{R})\)
\(3^t<9\to 3^t<3^2\to t<2\,\text{h}\) ou \(t<120\,\text{min}\)
0809¶
Determine o domínio da função:
\(f(x)=\sqrt{8^x-\dfrac{1}{8}}\)
0809 - Solução
Para determinar o domínio dessa função, devemos ter:
\(8^x-\dfrac{1}{8}\geq 0\to 8^x\geq \dfrac{1}{8}\to 8^x\geq 8^{-1}\to\ldots\to\boxed{x\geq -1}\)
0808¶
Obtenha o conjunto de todos os valores de \(x\) para os quais \(1\leq 4^{\frac{x}{4}}<8^2\)
0808 - Solução
Obtendo o conjunto de todos os valores de \(x\) para os quais \(1\leq 4^{\frac{x}{4}}<8^2\), devemos resolver o sistema formado pelas inequações:
\(\left\{\begin{array}{rclc} 4^{\frac{x}{4}} & < & 8^2 & (I)\\\\ 4^{\frac{x}{4}} & \geq & 1 & (II) \end{array}\right.\)
De (I) \(\left(2^2\right)^{\frac{x}{4}}<(2^3)^2\to \dfrac{x}{2}<6\to x<12\)
De (II) \(4^{\frac{x}{4}}\geq 4^0\to \dfrac{x}{4}\geq 0\to x\geq 0\)
Fazendo a interseção dessas soluções, teremos:
Portanto, a solução(S) será: \(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,0\leq x <12 \right\}\)
0807¶
Obtenha o conjunto solução(S) para a inequação:
\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3-x}>\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2x+4}\)
0807 - Solução
Obtendo o conjunto solução(S) para a inequação:
\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3-x}>\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2x+4}\to \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3-x}>\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2x-4}\to\)
\(3-x<-2x-4\to -x+2x<-4-3\to\boxed{x<-7}\)
0806¶
Duas questões:
a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:
"Como \(\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{8}\) tem-se \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2>\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\) e conclui-se que \(2>3\)"
Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão errônea.
b) Sem cometer o mesmo erro de José, determine o menor número \(m\), inteiro e positivo, que satisfaz a inequação:
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{m}}>\left(\dfrac{1}{4}\right)^{m+1}\)
0806 - Solução
a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:
"Como \(\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{8}\) tem-se \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2>\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\) e conclui-se que \(2>3\)"
Identificando o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão errônea.:
José cometeu o erro na última etapa de seu raciocínio, uma vez que a função exponencial dada por \(f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) é decrescente, ou seja, à medida que aumentamos o valor de \(x\), o valor de \(f(x)\) diminui.
b) Determinando o menor número \(m\), inteiro e positivo, que satisfaz a inequação dada:
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{m}}>\left(\dfrac{1}{4}\right)^{m+1}\to \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{m}}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2m+2}\to\)
\(\dfrac{4}{m}<2m+2\to \dfrac{4}{m}-2m-2<0\to \dfrac{4-2m^2-2m}{m}<0\)
\(\dfrac{2m^2+2m-4}{m}>0\to \dfrac{2(m-1)(m+2)}{m}>0\)
Como \(m>0\), teremos:
\(\dfrac{2(m-1)(m+2)}{m}>0\to (m-1)(m+2)>0\), ou seja \(\boxed{m<-2}\) ou \(\boxed{m>1}\)
0805¶
Calcule a área de um quadrado de lado \(a\) sabendo que o raio da circunferência circunscrita a esse quadrado mede \(2\sqrt{2}\,\text{cm}\).
0805 - Solução
Calculando a área de um quadrado de lado \(a\) sabendo que o raio da circunferência circunscrita a esse quadrado mede \(2\sqrt{2}\,\text{cm}\).
Observe a construção geométrica dessa situação:
Das fórmulas relacionadas aos quadrados, sabemos que a diagonal(d) é dada por: \(d=a\cdot\sqrt{2}\)
No caso, é visível que o raio da circunferência circunscrita vale exatos \(\dfrac{d}{2}\)
Assim \(d=4\cdot\sqrt{2}\). Aplicando à fórmula da diagonal(d), teremos:
\(d=a\cdot\cancel{\sqrt{2}}\to 4\cdot\cancel{\sqrt{2}}=a\cdot\sqrt{2}\to\boxed{a=4}\)
Portanto a área(A) do quadrado será: \(A=a^2\to A=4^2\to\boxed{A=16\,\text{cm}^2}\)
804¶
Sabendo que o raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular mede 3cm, calcule a área desse hexágono.
0804 - Solução
Observe a construção geométrica dessa situação:
Sabemos que, se unirmos todas as diagonais de um hexágono regular, internamente, teremos a formação de 6(seis) triângulos equiláteros cujos lados(a) medem exatamente o raio da circunferência circunscrita a esse hexágono regular. No caso \(a=3\)cm. Também é sabido que a área(A) de um triângulo equilátero tem uma fórmula particular, isto é \(A=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}\). Disso, podemos concluir que a área do hexágono(\(A_{h}\)) pode ser calculada por:
\(A_{h}=6\cdot A\), ou ainda \(A_{h}=6\cdot \dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}\). Para \(a=3\), teremos:
\(A_{h}=6\cdot \dfrac{3^2\cdot\sqrt{3}}{4}\to\boxed{A_{h}=\dfrac{27\cdot\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}^2}\)
0803¶
Obtenha a área da região sombreada, sendo o raio de cada circunferência 2cm.
803 - Solução
A área(\(A_{h}\)) da região hachurada será a subtração da área do quadrado de lado 4cm, menos a área de uma circunferência(inteira) de raio 2cm, ou seja:
\(A_{h}=4^2-\pi\cdot 2^2\to\boxed{A_{h}=4(4-\pi)\,\text{cm}^2}\)
0802¶
Um trabalho pode ser feito em 2 horas pela pessoa \(A\), em 3 horas pela pessoa \(B\) e em 6 horas pela pessoa \(C\). Em quanto tempo o mesmo trabalho será concluído pelas três pessoas juntas?
0802 - Solução
Vamos à solução:
Em 1 hora:
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1\), isto é, o trabalho todo.
0801¶
Dois operários levam 12 horas para fazer um trabalho. O primeiro, sozinho, leva 20 horas. Que tempo leva um segundo operário trabalhando sozinho?
0801 - Solução
Vamos à solução:
Em 1 hora:
\(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}\)
Em 12 horas, o trabalho está concluído:
\(12\cdot\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}\right)=1\Rightarrow\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12}\to\ldots\to\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{30}\to\boxed{x=30\,\text{h}}\)