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0825

Curva de Aprendizagem é um conceito criado pelos psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão:

Q(t)=700400e(0,5)tQ(t)=700-400\cdot e^{(-0,5)\,t}

onde QQ é a quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; tt é o tempo de experiência, em meses e e2,7183e\approx\,2,7183.

a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente?

b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?

c) Compare esses resultados e avalie se há coerência entre eles.

0825 - Soluções

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a) De acordo com esta expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente?

Q(2)=700400e(0,5)tQ(2)=700400eQ(2)552Q(2)=700-400\cdot e^{(-0,5)\,t}\to Q(2)=700-\dfrac{400}{e}\to \boxed{Q(2)\approx 552}


b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir mensalmente?

Q(0)=700400e(0,5)0Q(0)=300Q(0)=700-400\cdot e^{(-0,5)\cdot 0}\to \boxed{Q(0)=300}


c) Compare esses resultados e avalie se há coerência entre eles.

Comparando esses resultados, observamos que Q(2)>Q(0)Q(2)>Q(0), isto é, a eficiência de um funcionário com dois meses de experiência é maior que a de um funcionário sem qualquer experiência, havendo, portanto, coerência entre os resultados obtidos.

0824

Uma fórmula matemática para se calcular aproximadamente a área, em metros quadrados, da superfície corporal de uma pessoa é dada por:

S(p)=11100p23S(p)=\dfrac{11}{100}\cdot p^{\frac{2}{3}}

onde pp é a massa da pessoa, em quilogramas. Considerando uma criança de 8 kg, determine:

a) A área da superfície corporal da criança.

b) A massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar (use a aproximação 2=1,4\sqrt{2}=1,4).

0824 - Soluções

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a) A área da superfície corporal da criança.

S(8)=11100823S(8)=44100S(8)=0,44m2S(8)=\dfrac{11}{100}\cdot 8^{\frac{2}{3}}\to S(8)=\dfrac{44}{100}\to\boxed{S(8)=0,44\,\text{m}^2}


b) A massa que a criança terá quando a área de sua superfície corporal duplicar (use a aproximação 2=1,4\sqrt{2}=1,4).

Duplicando a área corporal, teremos 0,88m20,88\text{m}^2, portanto:

11100p23=0,88(p>0)p23=8p=242=161,422,4\dfrac{11}{100}\cdot p^{\frac{2}{3}}=0,88\,(p>0)\to p^{\frac{2}{3}}=8\to p=2^4\cdot\sqrt{2}=16\cdot 1,4\to 22,4 kg.

0823

O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por T(t)=TA+α3βtT(t)=T_{A}+\alpha\cdot 3^{\beta\,t}, onde T(t)T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante tt, dado em minutos, T(A)T(A) é a temperatura ambiente, suposta constante, e α\alpha e β\beta são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de 18o-18^{o}C. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0o0^{o}C após 9090 minutos e chegou a 16o-16^{o}C após 270 minutos.

a) Encontre os valores numéricos das constantes α\alpha e β\beta.

b) Determine o valor de tt para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas (23)o\left(\dfrac{2}{3}\right)^{o}C superior à temperatura ambiente.

0823 - Soluções

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a) Encontrando os valores numéricos das constantes α\alpha e β\beta:

Vamos montar(e resolver) um sistema de equações em função de α\alpha e β\beta, com os dados da questão; assim:

{0=18+α390β16=18+α3270β\left\{\begin{array}{rcl} 0 & = & -18+\alpha\cdot 3^{90\beta}\\ -16 & = & -18+\alpha\cdot 3^{270\beta}\\ \end{array}\right.\rightarrow

{α390β=18α3270β=2(÷)\left\{\begin{array}{rcl} \alpha\cdot 3^{90\beta} & = & 18\\ \alpha\cdot 3^{270\beta} & = & 2\quad(\div)\\ \end{array}\right.\rightarrow

α390βα3270β=182\dfrac{\cancel{\alpha}\cdot 3^{90\beta}}{\cancel{\alpha}\cdot 3^{270\beta}}=\dfrac{18}{2}\to

390β270β=3290β270β=2β=1903^{90\beta-270\beta}=3^2\to 90\beta-270\beta=2\to\boxed{\beta=-\dfrac{1}{90}}

Substituindo β=190\beta=-\dfrac{1}{90} em qualquer das equações de α\alpha, teremos:

α390(190)=18α31=18α=54\alpha\cdot 3^{90\left(-\frac{1}{90}\right)}=18\to\alpha\cdot 3^{-1}=18\to\boxed{\alpha=54}


b) Determinando o valor de tt para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas (23)o\left(\dfrac{2}{3}\right)^{o}C superior à temperatura ambiente:

Para T=(18+23)oT=\left(-18+\dfrac{2}{3}\right)^{o}C, teremos:

18+23=18+543190t23=543190t\cancel{-18}+\dfrac{2}{3}=\cancel{-18}+54\cdot 3^{-\frac{1}{90}\,t}\to\dfrac{2}{3}=54\cdot 3^{-\frac{1}{90}\,t}

13=273190t34=3190tt=360min\dfrac{1}{3}=27\cdot 3^{-\frac{1}{90}\,t}\to\ldots\to 3^{-4}=3^{-\frac{1}{90}\,t}\to\boxed{t=360\,\text{min}}

0822

Em um município, após uma pesquisa de opinião, constatou-se que o número de eleitores AA e BB variava em função do tempo tt, em anos, de acordo com as seguintes funções:

A(t)=2105(1,6)tB(t)=4105(0,4)t\boxed{A(t)=2\cdot 10^5\cdot (1,6)^t}\quad\quad\boxed{B(t)=4\cdot 10^5\cdot(0,4)^t}

Considere as estimativas corretas e que t=0t=0 refere-se ao dia 1 de janeiro de 2018.

a) Calcule o número de eleitores dos candidatos AA e BB em 1 de janeiro de 2018.

b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores.

c) Mostre que, em 1 de outubro de 2018, a razão entre os números de eleitores de AA e BB era maior que 1(um).

0822 - Soluções

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a) Calculando o número de eleitores dos candidatos AA e BB em 1 de janeiro de 2018:

A(0)=2105(1,6)0A(0)=200.000eleitoresA(0)=2\cdot 10^5\cdot (1,6)^0\to\boxed{A(0)=200.000\,\text{eleitores}}

B(0)=4104(0,4)0B(0)=400.000eleitoresB(0)=4\cdot 10^4\cdot (0,4)^0\to\boxed{B(0)=400.000\,\text{eleitores}}


b) Determine em quantos meses os candidatos terão o mesmo número de eleitores:

A(t)=B(t)2105(1,6)t=4105(0,4)tA(t)=B(t)\to 2\cdot 10^5\cdot (1,6)^t=4\cdot 10^5\cdot(0,4)^t\to

(1,60,4)t=410521054t=2t=12 anot=6meses\left(\dfrac{1,6}{0,4}\right)^t=\dfrac{4\cdot \cancel{10^5}}{2\cdot \cancel{10^5}}\to 4^t=2\to t=\dfrac{1}{2}\,\text{ ano}\to t=6\,\text{meses}


c) Mostrando que, em 1 de outubro de 2018, a razão entre os números de eleitores de AA e BB era maior que 1(um):

Nessa solução vamos adotar a data de 1 de outubro de 2018 como t=34t=\dfrac{3}{4} do ano:

A(34)B(34)=2105(1,6)344105(0,4)34=12434=82=2>1\dfrac{A\left(\dfrac{3}{4}\right)}{B\left(\dfrac{3}{4}\right)}=\dfrac{2\cdot 10^5\cdot(1,6)^{\frac{3}{4}}}{4\cdot 10^5\cdot(0,4)^{\frac{3}{4}}}=\dfrac{1} {2}\cdot 4^{\frac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}>1

0821

Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma função f(d)f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza em cada dia (d)(d), a partir de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a função y=exy=e^x:

Ex230Questao

Utilizando f(d)=100100e(0,2)df(d)=100-100\cdot e^{(-0,2)\,d} e o gráfico acima, qual o valor de dd, para que a empresa possa prever que o funcionário alcançará a produção de 87 peças num mesmo dia?

0821 - Solução

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Pelos dados, teremos:

f(d)=87100100e(0,2)d=87e0,2d=0,13f(d)=87\to 100-100\cdot e^{(-0,2)\,d}=87\to\boxed{e^{-0,2d}=0,13}

Pelo gráfico, temos que e2=0,13e^{-2}=0,13. Como 0,13=0,130,13=0,13:

e(0,2)d=e2d=20,2d=10diase^{(-0,2)\,d}=e^{-2}\to d=\dfrac{-2}{-0,2}\to\boxed{d=10\,\text{dias}}

0820

Obtenha a solução da equação exponencial 5x(5x1)=205^x\cdot(5^x-1)=20.

0820 - Solução

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Façamos 5x=k5^x=k:

k(k1)=20k2k20=0k(k-1)=20\to k^2-k-20=0\to por Bhaskara: k1=5k_{1}=5 ou k2=4k_{2}=-4

Se k=55x=5x=1k=5\Rightarrow 5^x=5\to\boxed{x=1}

Se k=45x=4xRk=-4\Rightarrow 5^x=-4\to\nexists\,x\in\mathbb{R}

0819

Em um meio de cultura especial, a quantidade de bactérias, em bilhões, é dada pela função QQ definida, para t0t\geq 0, por Q(t)=k5ktQ(t)=k\cdot 5^{kt}, sendo tt o tempo, em minutos, e kk uma constante. A quantidade de bactérias, cuja contagem inicia-se com o cálculo de Q(0)Q(0), torna-se, no quarto minuto, igual a 25Q(0)25\cdot Q(0). Quantos de bilhões de bactérias estão presentes nesse meio de cultura no oitavo minuto?

0819 - Solução

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Pelos dados, teremos:

Se t=0Q(0)=k50=kt=0\to Q(0)=k\cdot 5^0=k

Se t=4Q(4)=k54kt=4\to Q(4)=k\cdot 5^{4k}

Como Q(4)=25Q(0)Q(4)=25\cdot Q(0), teremos:

k54k=25k54k=25k=12k\cdot5^{4k}=25\cdot k\to 5^{4k}=25\to\boxed{k=\dfrac{1}{2}}

Portanto: Q(8)=125128Q(8)=312,5Q(8)=\dfrac{1}{2}\cdot 5^{\frac{1}{2}\cdot 8}\to\boxed{Q(8)=312,5}

0818

O crescimento de uma cultura de bactérias obedece à função N(t)=6003ktN(t)=600\cdot 3^{kt}, em que NN é o número de bactérias no instante tt, sendo tt o tempo em horas. A produção tem início em t=0t=0. Decorridas 12horas há um total de 1800 bactérias. Obtenha o valor de kk e o número de bactérias, após 24horas, do início da produção.

0818 - Solução

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Quando t=12t=12h, temos:

1800=6003k12312k=312k=1k=1121800=600\cdot 3^{k\cdot 12}\to 3^{12k}=3\to 12k=1\to\boxed{k=\dfrac{1}{12}}

Quando t=24t=24h, teremos:

N(24)=600311212N(t)=60032N(t)=5400bacteˊriasN(24)=600\cdot 3^{\frac{1}{12}\cdot 12}\to N(t)=600\cdot 3^2\to\boxed{N(t)=5400\,\text{bactérias}}

0817

Conforme dados obtidos pelo IBGE, relativos às taxas de analfabetismo da população brasileira de 15 anos ou mais, a partir de 1960, foi possível ajustar uma curva de equação y=30kx+10y=30\cdot k^x + 10, onde K>0K>0, representada por:

Ex234Questao

a) Determine o valor de kk.

b) Obtenha as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (valor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.

0817 - Soluções

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a) Determinando o valor de kk:

Sendo x=30x=30 e y=20y=20, teremos:

20=30k30+10k=(13)130=133020=30\cdot k^{30}+10\to\boxed{k=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{30}}=\sqrt[30]{\dfrac{1}{3}}}


b) Obtendo as taxas relativas aos anos de 1960 e 2020 (valor estimado), usando o gráfico e a equação anterior.

b.1) O ano de 1960 corresponde a x=0x=0. Logo:

y=30[(13)130]0+10y=40%y=30\cdot\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{30}}\right]^{0}+10\to\boxed{y=40\%}

b.2) O ano de 2020 corresponde a 20201960=602020-1960=60, isto é, x=60x=60. Logo:

y=30[(13)130]60+10y=40313,33%y=30\cdot\left[\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{1}{30}}\right]^{60}+10\to\boxed{y=\dfrac{40}{3}\approx 13,33\%}

0816

Dadas as funções definidas por f(x)=(45)xf(x)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^x e g(x)=(54)xg(x)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^x. Classifique, justificando, cada afirmativa a seguir:

a) Os gráficos de f(x)f(x) e g(x)g(x) não se interceptam.

b) f(x)f(x) é crescente e g(x)g(x) é decrescente.

c) g(2)f(1)=f(1)g(-2)\cdot f(-1)=f(1).

d) f[g(0)]=f(1)f[g(0)]=f(1).

e) f(1)+g(1)=52f(-1)+g(1)=\dfrac{5}{2}.

Dado: Gráfico das duas funções, no mesmo plano cartesiano

Ex235Questao

0816 - Soluções

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A partir do gráfico acima e das equações, poderemos verificar cada afirmativa; assim:

a) Falso, pois os gráficos se encontram em (0;1)(0;\,1) como todas as funções (apenas) exponenciais, ou seja, sem quaisquer elementos que alterem ou desloquem esses gráficos.


b) Falso, pois f(x)f(x) é, visivelmente, decrescente e g(s)g(s) e, visivelmente, crescente.


c) Verdadeira, pois:

g(2)=(54)2=1625g(-2)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^{-2}=\dfrac{16}{25}

f(1)=(45)1=54f(-1)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{4}

f(1)=(45)1=45f(1)=\left(\dfrac{4}{5}\right)^1=\dfrac{4}{5}


d) Verdadeira, pois:

g(0)=(54)0=1g(0)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^0=1

f[g(0)]=f(1)=45f[g(0)]=f(1)=\dfrac{4}{5}


e) Verdadeira, pois:

g(1)=(54)1=54g(1)=\left(\dfrac{5}{4}\right)^1=\dfrac{5}{4}

Logo:

f(1)+g(1)=54+54=52f(-1)+g(1)=\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{2}

0815

Suponha que o número de indivíduos de uma determinada população seja dado pela função F(t)=a2btF(t)=a\cdot 2^{-bt}, onde a variável tt é dada em anos e aa e bb são constantes.

a) Encontre as constantes aa e bb de modo que a população inicial (t=0t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.

b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 18\dfrac{1}{8} da população inicial?

c) Esboce o gráfico da função F(t)F(t) para t[0;40]t\in\,[0;\,40].

0815 - Soluções

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a) Encontre as constantes aa e bb de modo que a população inicial (t=0t=0) seja igual a 1024 indivíduos e a população após 10 anos seja a metade da população inicial.

Para t=0F(0)=a2b0=1024a=1024(I)t=0\to F(0)=a\cdot 2^{-b\cdot 0}=1024\to a=1024\,(I)

Para t=10F(10)=a2b10=512(II)t=10\to F(10)=a\cdot 2^{-b\cdot 10}=512\,(II)

Substituindo (I) em (II), teremos:

1024210b=512210b=21b=1101024\cdot 2^{-10b}=512\to 2^{-10b}=2^{-1}\to b=\dfrac{1}{10}


b) Qual o tempo mínimo para que a população se reduza a 18\dfrac{1}{8} da população inicial?

Pelos dados, temos F(t)=181024=128F(t)=\dfrac{1}{8}\cdot 1024=128. Assim:

10242110t=128t10=3t=301024\cdot 2^{-\frac{1}{10}t}=128\to -\dfrac{t}{10}=-3\to t=30 anos


c) Esboce o gráfico da função F(t)F(t) para t[0;40]t\in\,[0;\,40].

Obtendo alguns pontos, dentro do intervalo requerido, para a construção gráfica:

F(10)=512F(10)=512

F(20)=1024211020=256F(20)=1024\cdot 2^{-\frac{1}{10}\cdot 20}=256

F(40)=1024211040=64F(40)=1024\cdot 2^{-\frac{1}{10}\cdot 40}=64

Portanto, F(t)F(t) no intervalo requerido [0;40][0;\,40] será:

Ex236Solucao

0814

Sejam ff e gg funções reais de variável real definidas por:

f(x)=172x+1f(x)=\dfrac{17}{2^x+1}

g(x)=3+2xx2g(x)=3+2x-x^2

Obtenha o valor de f(g(x))f(g(x)).

0814 - Solução

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Obtendo o valor de f(g(x))f(g(x)):

Temos f(g(x))=172g(x)+1f(g(x))=\dfrac{17}{2^{g(x)}+1}. Assim, quanto maior for o valor de 2g(x)+12^{g(x)}+1, menor será o valor de f(g(x))f(g(x)). Logo f(g(x))f(g(x)) assumirá um valor mínimo quando 2g(x)+12^{g(x)}+1 assumir um valor máximo, o que ocorrerá quando g(x)g(x) assumir um valor máximo. Como g(x)=3+2xx2g(x)=3+2x-x^2, trata-se de uma função quadrática e, como o coeficiente de x2x^2 é negativo, seu gráfico é uma parábola com concavidade para baixo e, portanto, ela assumirá um valor máximo, o qual ocorrerá quando o valor de xx for igual à abscissa do vértice, isto é, quando x=22(1)=1x=\dfrac{-2}{2\cdot(-1)}=1. Assim, g(1)g(1) é o valor máximo assumido pela função gg e, portanto, o valor mínimo da função composta será:

f(g(1))=172g(1)+1=1724+1=1f(g(1))=\dfrac{17}{2^{g(1)}+1}=\dfrac{17}{2^{4}+1}=1

0813

A relação P=32000(120,1t)P=32000\cdot\left(1-2^{-0,1t}\right) descreve o crescimento de uma população PP de bactérias, tt dias após o instante zero. Para P>31000P>31000, qual o valor mínimo de tt?

0813 - Solução

professorlopes

32000(120,1t)>3100032(120,1t)>3132000\cdot\left(1-2^{-0,1t}\right)>31000\to 32\cdot\left(1-2^{-0,1t}\right)>31\to

323220,1t>313220,1t>132-32\cdot 2^{-0,1t}>31\to -32\cdot 2^{-0,1t}>-1 (invertendo a desigualdade)

3220,1t<120,1t<13220,1t<2532\cdot 2^{-0,1t}<1\to 2^{-0,1t}<\dfrac{1}{32}\to 2^{-0,1t}<2^{-5}\to

0,1t<5t>50-0,1\cdot t<-5\to\boxed{t>50}

Portanto, o valor mínimo de tt será de 51 dias.

0812

Seja aRa\in\mathbb{R} com a>1a>1. Obtenha o conjunto de todas as soluções reais da inequação:

a2x(1x)>ax1a^{2x(1-x)}>a^{x-1}

0812 - Solução

professorlopes

Para aRa\in\mathbb{R} com a>1a>1, vamos obter o conjunto de todas as soluções reais da inequação:

a2x(1x)>ax12x(1x)>x12x2x1<012<x1a^{2x(1-x)}>a^{x-1}\Leftrightarrow 2x(1-x)>x-1\Leftrightarrow 2x^2-x-1<0\Leftrightarrow -\dfrac{1}{2}\,<x\,1

Assim, o conjunto solução será o intervalo: ]12;  1[\left]-\dfrac{1}{2};\,\,1\right[

0811

Para xRx\in\mathbb{R}, resolva a inequação: (0,7)x(x3)<(0,49)x2\left(0,7\right)^{x(x-3)}<\left(0,49\right)^{x-2}.

0811 - Solução

professorlopes

Para xRx\in\mathbb{R}, vamos resolver a inequação:

(0,7)x(x3)<(0,49)x2(0,7)x23x<(0,7)2x4\left(0,7\right)^{x(x-3)}<\left(0,49\right)^{x-2}\to \left(0,7\right)^{x^2-3x}<\left(0,7\right)^{2x-4}\to

x23x>2x4x25x+4>0x^2-3x>2x-4\to x^2-5x+4>0

A equação x25x+4x^2-5x+4 terá raízes reais: x1=4x_{1}=4 e x2=1x_{2}=1

O estudo dos sinais da função y=x25x+4y=x^2-5x+4 será:

Ex240Solucao

Desse estudo, retiramos a solução(S) que será: S={xRx<1  ou  x>4}S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<1\,\,\text{ou}\,\,x>4\}

0810

Num laboratório é realizada uma experiência com um material volátil, cuja velocidade de volatilização é medida pela sua massa, em gramas, que decresce em função do tempo tt, em horas, de acordo com a fórmula m=32t3t+1+108m=-3^{2t}-3^{t+1}+108. Obtenha o tempo máximo de que os cientistas dispõem para utilizar este material antes que ele se volatilize totalmente.

0810 - Solução

professorlopes

Para que o material se volatilize totalmente, devemos ter m>0m>0, ou seja:

32t3t+1+108>0(3t)23t31+108>0-3^{2t}-3^{t+1}+108>0\to -\left(3^{t}\right)^2-3^{t}\cdot3^1+108>0

Fazendo 3t=k3^t=k, teremos:

k23k+108>0k2+3k108<0-k^2-3k+108>0\to k^2+3k-108<0

Resolvendo a equação: k2+3k108=0k1=12k^2+3k-108=0\to k_{1}=-12 e k2=9k_{2}=9

Obtendo os sinais para a inequação k2+3k108<0k^2+3k-108<0, teremos:

Ex241Solucao

Ou seja, 12<k<9-12<k<9. Voltando à equação inicial, teremos:

12<3t<9-12<3^t<9, que desmembrada, fica:

3t>12(tR)3^t>-12\,(\forall\,t\in\mathbb{R})

3t<93t<32t<2h3^t<9\to 3^t<3^2\to t<2\,\text{h} ou t<120mint<120\,\text{min}

0809

Determine o domínio da função:

f(x)=8x18f(x)=\sqrt{8^x-\dfrac{1}{8}}

0809 - Solução

professorlopes

Para determinar o domínio dessa função, devemos ter:

8x1808x188x81x18^x-\dfrac{1}{8}\geq 0\to 8^x\geq \dfrac{1}{8}\to 8^x\geq 8^{-1}\to\ldots\to\boxed{x\geq -1}

0808

Obtenha o conjunto de todos os valores de xx para os quais 14x4<821\leq 4^{\frac{x}{4}}<8^2

0808 - Solução

professorlopes

Obtendo o conjunto de todos os valores de xx para os quais 14x4<821\leq 4^{\frac{x}{4}}<8^2, devemos resolver o sistema formado pelas inequações:

{4x4<82(I)4x41(II)\left\{\begin{array}{rclc} 4^{\frac{x}{4}} & < & 8^2 & (I)\\\\ 4^{\frac{x}{4}} & \geq & 1 & (II) \end{array}\right.

De (I) (22)x4<(23)2x2<6x<12\left(2^2\right)^{\frac{x}{4}}<(2^3)^2\to \dfrac{x}{2}<6\to x<12

De (II) 4x440x40x04^{\frac{x}{4}}\geq 4^0\to \dfrac{x}{4}\geq 0\to x\geq 0

Fazendo a interseção dessas soluções, teremos:

Ex243Solucao

Portanto, a solução(S) será: S={xR0x<12}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,0\leq x <12 \right\}

0807

Obtenha o conjunto solução(S) para a inequação:

(34)3x>(43)2x+4\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3-x}>\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2x+4}

0807 - Solução

professorlopes

Obtendo o conjunto solução(S) para a inequação:

(34)3x>(43)2x+4(34)3x>(34)2x4\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3-x}>\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2x+4}\to \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3-x}>\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-2x-4}\to

3x<2x4x+2x<43x<73-x<-2x-4\to -x+2x<-4-3\to\boxed{x<-7}

0806

Duas questões:

a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:

"Como 14>18\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{8} tem-se (12)2>(12)3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2>\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 e conclui-se que 2>32>3"

Identifique o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão errônea.

b) Sem cometer o mesmo erro de José, determine o menor número mm, inteiro e positivo, que satisfaz a inequação:

(12)4m>(14)m+1\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{m}}>\left(\dfrac{1}{4}\right)^{m+1}

0806 - Solução

professorlopes

a) Ao resolver uma questão, José apresentou o seguinte raciocínio:

"Como 14>18\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{8} tem-se (12)2>(12)3\left(\dfrac{1}{2}\right)^2>\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 e conclui-se que 2>32>3"

Identificando o erro que José cometeu em seu raciocínio, levando-o a essa conclusão errônea.:

José cometeu o erro na última etapa de seu raciocínio, uma vez que a função exponencial dada por f(x)=(12)xf(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x é decrescente, ou seja, à medida que aumentamos o valor de xx, o valor de f(x)f(x) diminui.


b) Determinando o menor número mm, inteiro e positivo, que satisfaz a inequação dada:

(12)4m>(14)m+1(12)4m>(12)2m+2\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{m}}>\left(\dfrac{1}{4}\right)^{m+1}\to \left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{4}{m}}>\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2m+2}\to

4m<2m+24m2m2<042m22mm<0\dfrac{4}{m}<2m+2\to \dfrac{4}{m}-2m-2<0\to \dfrac{4-2m^2-2m}{m}<0

2m2+2m4m>02(m1)(m+2)m>0\dfrac{2m^2+2m-4}{m}>0\to \dfrac{2(m-1)(m+2)}{m}>0

Como m>0m>0, teremos:

2(m1)(m+2)m>0(m1)(m+2)>0\dfrac{2(m-1)(m+2)}{m}>0\to (m-1)(m+2)>0, ou seja m<2\boxed{m<-2} ou m>1\boxed{m>1}

0805

Calcule a área de um quadrado de lado aa sabendo que o raio da circunferência circunscrita a esse quadrado mede 22cm2\sqrt{2}\,\text{cm}.

0805 - Solução

professorlopes

Calculando a área de um quadrado de lado aa sabendo que o raio da circunferência circunscrita a esse quadrado mede 22cm2\sqrt{2}\,\text{cm}.

Observe a construção geométrica dessa situação:

Ex246Solucao

Das fórmulas relacionadas aos quadrados, sabemos que a diagonal(d) é dada por: d=a2d=a\cdot\sqrt{2}

No caso, é visível que o raio da circunferência circunscrita vale exatos d2\dfrac{d}{2}

Assim d=42d=4\cdot\sqrt{2}. Aplicando à fórmula da diagonal(d), teremos:

d=a242=a2a=4d=a\cdot\cancel{\sqrt{2}}\to 4\cdot\cancel{\sqrt{2}}=a\cdot\sqrt{2}\to\boxed{a=4}

Portanto a área(A) do quadrado será: A=a2A=42A=16cm2A=a^2\to A=4^2\to\boxed{A=16\,\text{cm}^2}

804

Sabendo que o raio da circunferência circunscrita a um hexágono regular mede 3cm, calcule a área desse hexágono.

0804 - Solução

professorlopes

Observe a construção geométrica dessa situação:

Ex247Solucao

Sabemos que, se unirmos todas as diagonais de um hexágono regular, internamente, teremos a formação de 6(seis) triângulos equiláteros cujos lados(a) medem exatamente o raio da circunferência circunscrita a esse hexágono regular. No caso a=3a=3cm. Também é sabido que a área(A) de um triângulo equilátero tem uma fórmula particular, isto é A=a234A=\dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}. Disso, podemos concluir que a área do hexágono(AhA_{h}) pode ser calculada por:

Ah=6AA_{h}=6\cdot A, ou ainda Ah=6a234A_{h}=6\cdot \dfrac{a^2\cdot\sqrt{3}}{4}. Para a=3a=3, teremos:

Ah=63234Ah=2732cm2A_{h}=6\cdot \dfrac{3^2\cdot\sqrt{3}}{4}\to\boxed{A_{h}=\dfrac{27\cdot\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}^2}

0803

Obtenha a área da região sombreada, sendo o raio de cada circunferência 2cm.

Ex248Questao

803 - Solução

professorlopes

A área(AhA_{h}) da região hachurada será a subtração da área do quadrado de lado 4cm, menos a área de uma circunferência(inteira) de raio 2cm, ou seja:

Ah=42π22Ah=4(4π)cm2A_{h}=4^2-\pi\cdot 2^2\to\boxed{A_{h}=4(4-\pi)\,\text{cm}^2}

0802

Um trabalho pode ser feito em 2 horas pela pessoa AA, em 3 horas pela pessoa BB e em 6 horas pela pessoa CC. Em quanto tempo o mesmo trabalho será concluído pelas três pessoas juntas?

0802 - Solução

professorlopes

Vamos à solução:

Em 1 hora:

12+13+16=1\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{6}=1, isto é, o trabalho todo.

0801

Dois operários levam 12 horas para fazer um trabalho. O primeiro, sozinho, leva 20 horas. Que tempo leva um segundo operário trabalhando sozinho?

0801 - Solução

professorlopes

Vamos à solução:

Em 1 hora:

120+1x\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}

Em 12 horas, o trabalho está concluído:

12(120+1x)=1120+1x=1121x=130x=30h12\cdot\left(\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}\right)=1\Rightarrow\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12}\to\ldots\to\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{30}\to\boxed{x=30\,\text{h}}