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Página34

0850

Resolva, em R\mathbb{R}, a inequação simultânea 3<x22x+8<83<x^2-2x+8<8

0850 - Resposta

S={xR0<x<2}S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}

0850 - Solução

professorlopes

\RrightarrowEstratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como (I)(I) e (II)(II)

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções SIS_{I} e SIIS_{II}

3.Obter a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}

\RrightarrowResolução:

1. Nomeando

3<x22x+8(I)<8x22x+8>3  (I)\underbrace{3<x^2-2x+8}_{(I)}<8\to x^2-2x+8>3\,\,(I)

3<x22x+8<8(II)x22x+8<8  (II)3<\underbrace{x^2-2x+8<8}_{(II)}\to x^2-2x+8<8\,\,(II)

2. Resolvendo

2a. Resolvendo (I)(I), isto é: x22x+8>3x22x+5>0x^2-2x+8>3\to x^2-2x+5>0

Vamos resolver a equação x22x+5=0x^2-2x+5=0\to\ldots Fórmula Quadrática xR\ldots\to \nexists x\in\mathbb{R}

O gráfico da função y=x25x+5y=x^2-5x+5 é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, como não há raízes reais, qualquer valor de "xx" adotado como domínio, resultará uma imagem positiva.

Portanto, x22x+5>0xRx^2-2x+5>0\to\forall x\in\mathbb{R}, sendo esta a solução final(SI)(S_{I}):

SI={xR}S_{I}=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}\checkmark

q0850-i

2b. Resolvendo (II)(II), isto é: x22x+8<8x22x<0x^2-2x+8<8\to x^2-2x<0

Vamos resolver a equação x22x=0x(x2)=0x1=0x^2-2x=0\to x(x-2)=0\to x_{1}=0 ou x2=2x_{2}=2

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

q0850-ii

A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SII={xR0<x<2}S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}\checkmark

3. Obtendo a solução final(S)(S) como SISIIS_{I}\cap S_{II}:

q0850-final

Portanto: S={xR0<x<2}S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}\checkmark

q0850-final2

0849

Resolva, em R\mathbb{R}, a inequação simultânea 2x2x202x2\leqslant x^2-x\leqslant 20-2x

0849 - Resposta

S={5x1  ou  2x4}S=\{-5\leqslant x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,2\leqslant x\leqslant 4\}

0849 - Solução

professorlopes

\RrightarrowEstratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como (I)(I) e (II)(II)

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções SIS_{I} e SIIS_{II}

3.Obter a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}

\RrightarrowResolução:

1. Nomeando

2x2x(I)202xx2x20  (I)\underbrace{2\leqslant x^2-x}_{(I)}\leqslant 20-2x\to x^2-x-2\geqslant 0\,\,(I)

2x2x202x(II)x2+x200  (II)2\leqslant\underbrace{x^2-x\leqslant 20-2x}_{(II)}\to x^2+x-20\leqslant 0\,\,(II)

2a. Resolvendo (I)(I)

(I)x2x2x2x20x2x2=0(I)\to x^2-x\geqslant 2\to x^2-x-2\geqslant 0\to x^2-x-2=0 Fórmula Quadrática \to

x=b±b24×a×c2×ax=(1)±(1)24×1×(2)2×1x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\times 1\times (-2)}}{2\times 1}\to

x=1±32x1=1x=\dfrac{1\pm 3}{2}\to x_{1}=-1 ou x2=2x_{2}=2

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

q0849-i

As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SI={xRx1  ou  x2}S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 2\}\checkmark

2b. Resolvendo (II)(II)

x2+x200x2+x20=0x^2+x-20\leqslant 0\to x^2+x-20=0 Fórmula Quadrática \to

x=b±b24×a×c2×ax=1±124×1×(20)2×1x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times (-20)}}{2\times 1}\to

x=1±92x1=5x=\dfrac{-1\pm 9}{2}\to x_{1}=-5 ou x2=4x_{2}=4

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

q0849-ii

A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SII={xR5x4}S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-5\leqslant x\leqslant 4\}

3. Obtendo a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}:

q0849-final

Portanto: S={5x1  ou  2x4}S=\{-5\leqslant x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,2\leqslant x\leqslant 4\}\checkmark

q0849-final2

0848

Resolva, em R\mathbb{R}, a inequação simultânea 7x2+3<4x7\leqslant x^2+3<4x

0848 - Resposta

S={xR    2x<3}S=\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,2\leqslant x<3\}

0848 - Solução

professorlopes

\RrightarrowEstratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como (I)(I) e (II)(II)

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções SIS_{I} e SIIS_{II}

3.Obter a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}

\RrightarrowResolução:

1. Nomeando

7x2+3(I)<4xx240  (I)\underbrace{7\leqslant x^2+3}_{(I)}<4x\to x^2-4\geqslant 0\,\,(I)

7x2+3<4x(II)x24x+3<0  (II)7\leqslant\underbrace{x^2+3<4x}_{(II)}\to x^2-4x+3<0\,\,(II)

2a. Resolvendo (I)(I)

x240x24=0x1=2  x2=2x^2-4\geqslant0\to x^2-4=0\to x_{1}=-2\,\,x_{2}=2

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

q0848-i

As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SI={xRx2  ou  x2}S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant -2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 2\}\checkmark

2b. Resolvendo (II)(II)

(II)x2+3<4xx24x+3<0x24x+3=0(II)\to x^2+3<4x\to x^2-4x+3<0\to x^2-4x+3=0\to Fórmula Quadrática \to

x=b±b24×a×c2×ax=(4)±(4)24×1×32×1x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times 3}}{2\times 1}\to

x=4±22x1=1x=\dfrac{4\pm 2}{2}\to x_{1}=1 ou x2=3x_{2}=3

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

q0848-ii

A área hachurada indica o intervalo positivo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SII={xR    1<x<3}S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,1<x<3\}\checkmark

3. Obtendo a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}:

q0848-final

Portanto: S{xR    2x<3}S\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,2\leqslant x<3\}

q0848-final2

0847

Resolva, em R\mathbb{R}, a inequação simultânea 6<x25x<6-6<x^2-5x<6

0847 - Resposta

S={xR1<x<2  ou  3<x<6}S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<2\,\,\text{ou}\,\,3<x<6\}

0847 - Solução

professorlopes

\RrightarrowEstratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como (I)(I) e (II)(II)

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções SIS_{I} e SIIS_{II}

3.Obter a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}

\RrightarrowResolução:

1. Nomeando

6<x25x(I)<6x25x+6>0  (I)\underbrace{-6<x^2-5x}_{(I)}<6\to x^2-5x+6>0\,\,(I)

6<x25x<6(II)x25x6<0  (II)-6<\underbrace{x^2-5x<6}_{(II)}\to x^2-5x-6<0\,\,(II)

2a. Resolvendo (I)(I)

x25x+6>0x25x+6=0x^2-5x+6>0\to x^2-5x+6=0\to Fórmula Quadrática \to

(I)x25x+6>0x25x+6=0(I)\to x^2-5x+6>0\to x^2-5x+6=0\to Fórmula Quadrática \to

x=b±b24×a×c2×ax=(5)±(5)24×1×62×1x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to

x=5±12x1=2x=\dfrac{5\pm 1}{2}\to x_{1}=2 ou x2=3x_{2}=3

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

q0847-i

As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SI={xRx<2  ou  x>3}S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<2\,\,\text{ou}\,\,x>3\}

2b. Resolvendo (II)(II)

(II)x25x6<0x25x6=0(II)\to x^2-5x-6<0\to x^2-5x-6=0\to Fórmula Quadrática \to

x=b±b24×a×c2×ax=(5)±(5)24×1×(6)2×1x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times(-6)}}{2\times 1}\to

x=5±72x1=1x=\dfrac{5\pm 7}{2}\to x_{1}=-1 ou x2=6x_{2}=6

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

q0847-ii

A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SII={xR1<x<6}S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<6\}

3. Obtendo a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}:

q0847-final

Portanto: S={xR1<x<2  ou  3<x<6}S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<2\,\,\text{ou}\,\,3<x<6\}

q0847-final2

0846

Resolva, em R\mathbb{R}, o sistema de inequações

{x210x22x>0\left\{\begin{array}{rcrcrr} x^2&-&1&\leqslant&0&\\ x^2&-&2x&>&0& \end{array}\right.

0846 - Resposta

S={xR1x<0}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x < 0\right\}

0846 - Solução

professorlopes

\RrightarrowEstratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como (I)(I) e (II)(II)

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções SIS_{I} e SIIS_{II}

3.Obter a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}

\RrightarrowResolução:

1. Nomeando

{x210(I)x22x>0(II)\left\{\begin{array}{rcrcrr} x^2&-&1&\leqslant&0&(I)\\ x^2&-&2x&>&0&(II) \end{array}\right.

2a. Resolvendo (I)(I)

x210x21=0x=±1x^2-1\leqslant0\to x^2-1=0\to x=\pm 1

Duas raízes encontradas: x=1x=-1\quad ou x=1\quad x=1

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

q0846-i

A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SI={xR1x1}S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x\leqslant 1\}

2b. Resolvendo (II)(II)

x22x>0x22x=0x^2-2x>0\to x^2-2x=0\to

x(x2)=0x=0,x=2x(x-2)=0\to x=0,\,x=2\to

Duas raízes encontradas: x=0x=0\quad ou x=1\quad x=1

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

q0846-ii

As duas áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SI={xRx<0  ou  x>2}S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<0\,\,\text{ou}\,\,x>2\}

3. Obtendo a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}:

q0846-final

Portanto: S={xR1x<0}\boldsymbol{S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x < 0\}\,\checkmark}

q0846-final

0845

Resolva, em R\mathbb{R}, o sistema de inequações

{x2+6x+80x+5<0\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x^2&+&6x&+&8&\geqslant&0&\\ &&x&+&5&<&0& \end{array}\right.

0845 - Resposta

S={xRx<5}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\right\}

0845 - Solução

professorlopes

\RrightarrowEstratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como (I)(I) e (II)(II)

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções SIS_{I} e SIIS_{II}

3.Obter a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}

\RrightarrowResolução:

1. Nomeando

{x2+6x+80(I)x+5<0(II)\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x^2&+&6x&+&8&\geqslant&0&(I)\\ &&x&+&5&<&0&(II) \end{array}\right.

2a. Resolvendo (I)(I)

x2+6x+8=0x^2+6x+8=0\to\ldotsFórmula Quadrática\ldots

x=b±b24×a×c2×ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}, para a=1  a=1\,\, b=6  b=6\,\, c=8c=8:

x=6±624×1×82×1x=6±22x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times 1\times 8}}{2\times 1}\to x=\dfrac{-6\pm 2}{2}\to

Duas raízes: x1=4x_{1}=-4\quad e x2=2\quad x_{2}=-2

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima(a=1>0)(a=1>0) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

q0845-i

As duas áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SI={xRx4  ou  x2}S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant-4\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant-2\}

2b. Resolvendo (II)(II)

x+5<0x<5x+5<0\to x<-5

O gráfico dessa função é uma reta, crescente e, com a raiz encontrada, tem esse esboço:

q0845-i

A área hachurada indica o inervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

SII={xRx<5}S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\}

3. Obtendo a solução final(S)(S) da interseção SISIIS_{I}\cap S_{II}:

q0845-final

Portanto: S={xRx<5}\boldsymbol{S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\}\,\checkmark}

q0845-final


0844

Resolva, em R\mathbb{R}, a inequação modular 3x54|3x-5|\geqslant 4

0844 - Resposta

S={xRx13  ou  x3}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}

0844 - Solução

professorlopes

1ª Forma de Resolução:

De acordo com as propriedades de módulo para números reais(k)(k), kRk\in\mathbb{R}, temos dois casos possíveis:

  1. x<kk<x<k|x|<k\quad\Longleftrightarrow\quad-k<x<k
  2. x>kx<k  ou  x>k|x|>k\quad\Longleftrightarrow\quad x<-k\,\,\text{ou}\,\,x>k

À nossa questão, o segundo caso, com duas possibilidades:

3x543x1x13(I)3x-5\leqslant-4\to 3x\leqslant 1\to x\leqslant\dfrac{1}{3}\quad(I)

ou

3x543x9x3(II)3x-5\geqslant 4\to3x\geqslant 9\to x\geqslant 3\quad(II)

Como solução(S)(S) final, devemos ter (I)(II)(I)\cup (II):

S={xRx13  ou  x3}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}


2ª Forma de Resolução:

De acordo com a definição de Módulo:

x={x,sex0x,sex<0|x|=\left\{\begin{array}{rcrr}x,&\text{se}&x\geqslant 0\\-x,&\text{se}& x<0\end{array}\right.

Então:

3x5={3x5,se3x50x53(I)3x+5,se3x5<0x<53  (II)|3x-5|=\left\{\begin{array}{rcrl}3x-5,&\text{se}&3x-5\geqslant 0\to&x\geqslant\dfrac{5}{3}\quad(I)\\\\-3x+5,&\text{se}& 3x-5<0\to&x<\dfrac{5}{3}\,\,(II)\end{array}\right.

Analisando as duas possibilidades:

(I)(I) Para x533x543x9x3  Final  (I)x\geqslant\dfrac{5}{3}\to 3x-5\geqslant4\to 3x\geqslant9\to\boxed{x\geqslant 3}\,\,\checkmark\quad\text{Final}\,\,(I)

(II)(II) Para x<5313x+543x1x132\underbrace{x<\dfrac{5}{3}}_{\text{\textcircled 1}}\to -3x+5\geqslant4\to -3x\geqslant-1\to\underbrace{x\leqslant\dfrac{1}{3}}_{\text{\textcircled 2}}\to

12x13  Final  (II)\quad\quad\quad\text{\textcircled 1}\,\cap\text{\textcircled 2}\Rightarrow \boxed{x\leqslant\dfrac{1}{3}}\,\,\checkmark\quad\text{Final}\,\,(II)

Como solução(S)(S) final, devemos ter (I)(II)(I)\cup (II):

S={xRx13  ou  x3}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}

0843

Simplifique as expressões:

a) n!(n1)!\quad\dfrac{n!}{(n-1)!}\quad b) (n+4)!(n+2)!+(n+3)!\quad\dfrac{(n+4)!}{(n+2)!+(n+3)!}\quad c) (n1)!+n!(n+1)!\quad\dfrac{(n-1)!+n!}{(n+1)!}

Fatorial(n!n!)

Por definição, a operação de fatorial(!!) somente é possível quando utilizamos números naturais. Em símbolos:

Para nN\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}, define-se n!=n(n1)(n2)(n3)321\quad\boldsymbol{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1}

0843 - Respostas

a) n\boldsymbol{n}\quad b) n+3\boldsymbol{n+3}\quad c) 1n\boldsymbol{\dfrac{1}{n}}

0843 - Soluções

professorlopes

a) n!(n1)!=n(n1!)(n1)!=n  \dfrac{n!}{(n-1)!}=\dfrac{n(\cancel{n-1!})}{\cancel{(n-1)!}}=\boldsymbol{n}\,\,\checkmark


b) (n+4)!(n+2)!+(n+3)!=(n+4)(n+3)(n+2)!(n+2!)+[(n+3)(n+2)!]=\dfrac{(n+4)!}{(n+2)!+(n+3)!}=\dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)!}{(n+2!)+[(n+3)(n+2)!]}=

(n+4)(n+3)(n+2)!(n+2)![1+n+3]=(n+4)(n+3)n+4=n+3  \dfrac{(n+4)(n+3)\cancel{(n+2)!}}{\cancel{(n+2)!}[1+n+3]}=\dfrac{\cancel{(n+4)}(n+3)}{\cancel{n+4}}=\boldsymbol{n+3}\,\,\checkmark


c) (n1)!+n!(n+1)!=(n1)!+n(n1)!(n+1)n(n1)!=\dfrac{(n-1)!+n!}{(n+1)!}=\dfrac{(n-1)!+n(n-1)!}{(n+1)\cdot n\cdot(n-1)!}=

(n1)!(1+n)(n1)!n(n+1)=1n  \dfrac{\cancel{(n-1)!}\cdot\cancel{(1+n)}}{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot\cancel{(n+1)}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{n}}\,\,\checkmark

0842

Resolva as equações:

a) (n+1)!(n1)!=12\quad\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12\quad b) (n+10)!(n+8)!=30\quad\dfrac{(n+10)!}{(n+8)!}=30

Fatorial(n!n!)

Por definição, a operação de fatorial(!!) somente é possível quando utilizamos números naturais. Em símbolos:

Para nN\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}, define-se n!=n(n1)(n2)(n3)321\quad\boldsymbol{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1}

0842 - Respostas

a) n=3n=3\quad b) ∄nN\not\exists\,n\in\mathbb{N}

0842 - Soluções

professorlopes

a) (n+1)!(n1)!=12(n+1)n(n1)!(n1)!=12\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12\to\dfrac{(n+1)\cdot n\cdot\cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}}=12\to

n(n+1)12=0n2+n12=0  Foˊrmula Quadraˊtican(n+1)-12=0\to\boldsymbol{n^2+n-12=0}\Rightarrow\,\,\text{Fórmula Quadrática}

n=b±b24×a×c2×an=1±124×1×(12)2×1n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to n=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times(-12)}}{2\times 1}\to

n=1±492n=1±72n=4  ou  n=3  n=\dfrac{-1\pm\sqrt{49}}{2}\to n=\dfrac{-1\pm7}{2}\to \cancel{n=-4}\,\,\text{ou}\,\,\boldsymbol{\boxed{n=3}}\,\,\checkmark


b) (n+10)(n+8)!=30(n+10)(n+9)(n+8)!(n+8)!=30\dfrac{(n+10)}{(n+8)!}=30\to\dfrac{(n+10)\cdot(n+9)\cdot\cancel{(n+8)!}}{\cancel{(n+8)!}}=30\to

(n+10)(n+9)=30n2+19n+9030=0(n+10)\cdot(n+9)=30\to n^2+19n+90-30=0\to

n2+19n+60=0Foˊrmula Quadraˊtican^2+19n+60=0\to\text{Fórmula Quadrática}

n=b±b24×a×c2×an=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to

n=19±1924×1×602×1n=\dfrac{-19\pm\sqrt{19^2-4\times 1\times 60}}{2\times 1}\to

n=19±1212n=\dfrac{-19\pm\sqrt{121}}{2}\to

n1=19112n1=15n_1=\dfrac{-19-11}{2}\to \cancel{n_1=-15}\quad

ou

n2=19+112n2=4n_2=\dfrac{-19+11}{2}\to \cancel{n_2=-4}

Portanto, ∄nN\boldsymbol{\not\exists\,n\in\mathbb{N}}

0841

Resolvida em R\mathbb{R} a equação modular x252x14=54\left|x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{5}{4}

0841 - Respostas

x=5314  x=\dfrac{5-\sqrt{31}}{4}\,\, ou   x=5214  \,\,x=\dfrac{5-\sqrt{21}}{4}\,\, ou   x=5+214  \,\,x=\dfrac{5+\sqrt{21}}{4}\,\, ou   x=5+314  \,\,x=\dfrac{5+\sqrt{31}}{4}\,\,

0841 - Soluções

professorlopes

Na resolução de equações modulares(nosso caso) da forma

xa=k;a,kR|x-a|=k;\,a,k\in\mathbb{R}

adotamos a seguinte estratégia, com duas possibilidades:

xa=k|x-a|=k

ou

xa=k|x-a|=-k

Isto posto, vamos ao exercício:

Primeira Possibilidade:

x252x14=544x210x32=0(Bhaskara)x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\to 4x^2-10x-\dfrac{3}{2}=0\to(Bhaskara)

x=(10)±(10)24×4×(32)2×4x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times 4\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)}}{2\times 4}\to

x=10±100+248x=10±2318x=\dfrac{10\pm\sqrt{100+24}}{8}\to x=\dfrac{10\pm 2\sqrt{31}}{8}\to

x1=5314  ou  x2=5+314  \boldsymbol{\boxed{x_{1}=\dfrac{5-\sqrt{31}}{4}\,\,\text{ou}\,\,x_{2}=\dfrac{5+\sqrt{31}}{4}}\,\,\checkmark}


Segunda Possibilidade:

x252x14=544x210x+1=0(Bhaskara)x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{5}{4}\to 4x^2-10x+1=0\to(Bhaskara)

x=(10)±(10)24×4×12×4x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times 4\times 1}}{2\times 4}\to

x=1=±100168x=10±2218x=\dfrac{1=\pm\sqrt{100-16}}{8}\to x=\dfrac{10\pm2\sqrt{21}}{8}\to

x3=5214  ou  x4=5+214  \boldsymbol{\boxed{x_{3}=\dfrac{5-\sqrt{21}}{4}\,\,\text{ou}\,\,x_{4}=\dfrac{5+\sqrt{21}}{4}}\,\,\checkmark}

0840

Resolva a equação 3x2+4x+2=03x^2+4x+2=0

0840 - Resposta

x=2i23x=\dfrac{-2-i\sqrt{2}}{3} ou x=2+i23x=\dfrac{-2+i\sqrt{2}}{3}

0840 - Solução

professorlopes

Observe que não foi citado o conjunto universo a ser adotado, assim, devemos tomar o maior conhecido, isto é, U=C\mathbb{U}=\mathbb{C} e seguir a resolução normalmente utilizando a fórmula de Bhaskara:

x=b±b24×a×c2×a\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}}\to

x=4±424×3×22×3x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times 3\times 2}}{2\times 3}\to

x=4±16246x=4±86x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-24}}{6}\to x=\dfrac{-4\pm\sqrt{-8}}{6}

x=4±2i26x=2(2±i2)6x=\dfrac{-4\pm 2i\sqrt{2}}{6}\to x=\dfrac{\cancel{2}(-2\pm i\sqrt{2})}{\cancel{6}}\to

x1=2i23\boxed{x_{1}=\dfrac{-2-i\sqrt{2}}{3}}\checkmark ou x2=2+i23\boxed{x_{2}=\dfrac{-2+i\sqrt{2}}{3}}\checkmark

0839

Resolva, em R\mathbb{R}, a equação: x24x12=0x^2-4x-12=0

0839 - Resposta

x=2x=-2 ou x=6x=6

0839 - Solução

professorlopes

Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara); assim:

x24x12=0a=1;b=4;c=12x^2-4x-12=0\to a=1;\quad b=-4;\quad c=-12 a serem aplicados em:

x=b±b24×a×c2×a\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}}

x=(4)±(4)24×1×(12)2×1x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times(-12)}}{2\times 1}\to

x=4±16+482x=4±642x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+48}}{2}\to x=\dfrac{4\pm\sqrt{64}}{2}\to

x=4±82x1=2x=\dfrac{4\pm 8}{2}\to\ldots\boxed{x_{1}=-2}\checkmark ou x2=6\boxed{x_{2}=6}\checkmark

OBS: Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, as raízes 2-2 e 66, indicam as ordenadas onde esse gráfico corta o eixo das abscissas; além disso, a curva desse gráfico é voltada para cima, pois a=1>0a=1>0.

0838

Resolva, em R\mathbb{R}, a equação: y216y+64=0y^2-16y+64=0

0838 - Resposta

y=8y=8

0838 - Solução

professorlopes

Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara), entretanto, uma observação mais atenta nota-se que esse trinômio do segundo grau é o desenvolvimento de um produto notável do tipo (axb)2(ax-b)^2, tornando a resolução mais simples; assim:

y216y+64=0(y8)2=0y8=0y=8y^2-16y+64=0\to (y-8)^2=0\to y-8=0\to\boxed{y=8}\checkmark

OBS: Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, a raiz 88 é chamada de raiz dupla, embora o gráfico toque no eixo das abscissas apenas uma vez.

0837

Resolva, em R\mathbb{R}, a equação: 4x24x+1=04x^2-4x+1=0

0837 - Resposta

x=12x=\dfrac{1}{2}

0837 - Solução

professorlopes

Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara), entretanto, uma observação mais atenta nota-se que esse trinômio do segundo grau é o desenvolvimento de um produto notável do tipo (axb)2(ax-b)^2, tornando a resolução mais simples; assim:

4x24x+1=0(2x1)2=02x1=0x=124x^2-4x+1=0\to (2x-1)^2=0\to 2x-1=0\to\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\checkmark

OBS: Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, a raiz 12\dfrac{1}{2} é chamada de raiz dupla, embora o gráfico toque no eixo das abscissas apenas uma vez.

0836

(UCS-RS) A relação entre a quantidade em oferta de determinado produto e o seu preço, quando este for xx reais por unidade, é dada pela equação q=x2+3x70q=x^2+3x-70. Já a procura por esse produto (quantidade que os consumidores estão dispostos a comprar), quando o preço for xx reais, é dada pela equação d=410xd=410-x.

O equilíbrio no mercado ocorre quando qq e dd são iguais. Sendo x0x_{0} o preço e y0y_{0} a quantidade quando ocorre o equilíbrio, obtenha o valor da expressão y0x0y_{0}-x_{0}.

0836 - Resposta

y0x0=370y_{0}-x_{0}=370

0836 - Solução

professorlopes

Algumas considerações:

1ª) Para q=dq=d, teremos uma equação do segundo grau que será resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara):

x2+3x70=410xx2+4x480=0x^2+3x-70=410-x\to x^2+4x-480=0\Rrightarrow\quad Bhaskara

x=4±424×1×(480)2×1x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times 1\times(-480)}}{2\times 1}\to

x=4±19362x=4±442x0=20x=\dfrac{-4\pm\sqrt{1936}}{2}\to x=\dfrac{-4\pm 44}{2}\to\boxed{x_{0}=20}\checkmark

Obs: Apenas o valor positivo de xx foi considerado, pois trata-se de valor(em reais) por unidade.

2ª) Além disso, no equilíbrio, teremos:

q=d=y0=410x0y0=41020y0=390q=d=y_{0}=410-x_{0}\to y_{0}=410-20\to\boxed{y_{0}=390}\checkmark

Finalmente, encontraremos o valor da expressão:

y0x0=39020=370y_{0}-x_{0}=390-20=370 (resposta final)

0835

(Ufam) Sendo (x+y)2(xy)2=30(x+y)^2-(x-y)^2=30, obtenha 2xy2xy.

0835 - Resposta

2xy=152xy=15

0835 - Solução

professorlopes

Vamos desenvolver os produtos notáveis:

x2+2xy+y2(x22xy+y2)=30x^2+2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2)=30\to

x2+2xy+y2x2+2xyy2=30\cancel{x^2}+2xy+\cancel{y^2}-\cancel{x^2}+2xy-\cancel{y^2}=30\to

4xy=302xy=154xy=30\to\boxed{2xy=15}\checkmark

0834

(Uerj) Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de passageiros no vagão corresponde a 120. Determine o valor de n.

0834 - Resposta

n=125n=125 pessoas

0834 - Solução

professorlopes

Como nn corresponde ao número de passageiros inicialmente no trem e na primeira estação desembarcaram 20% dos passageiros, podemos representar os passageiros que seguiram a viagem como (100%20%)n=(80%)n(100\%-20\%)\cdot n=(80\%)\cdot n.

Já na segunda parada entraram 20% da quantidade de passageiros que havia no trem, isto é: (100%+20%)(100\%+20\%) de (80%)(80\%) de nn.

Esse número é igual a 120 passageiros que restaram no trem. Em símbolos:

1,20,8n=1200,96n=120n=1200,96n=1251,2\cdot 0,8\cdot n=120\to 0,96\cdot n=120\to n=\dfrac{120}{0,96}\to \boxed{n=125}\checkmark

Portanto nn corresponde a 125125 pessoas.

0833

Um carro movido a gasolina faz 1212 km por litro. Sabe-se que o preço do litro de álcool é fixado pelo governo como sendo 75%75\% do preço do litro de gasolina. Um carro a álcool passa a ser mais econômico, quando comparado com um carro a gasolina, a partir de um rendimento mínimo de XX km por litro. Obtenha o valor mínimo de XX.

0833 - Resposta

X=9X=9

0833 - Solução

professorlopes

Supondo o litro de gasolina custando "CC", o litro de álcool, custará "0,75C0,75C". Pelos dados, poderemos obter o rendimento(RR):

\RrightarrowCom a gasolina, teremos o rendimento (RGR_{G}):

RG=12km1L=12kmCR_{G}=\dfrac{12km}{1L}=\dfrac{12km}{C}

\RrightarrowCom o álcool, teremos o rendimento (RAR_{A}):

RA=Xkm1L=Xkm0,75CR_{A}=\dfrac{X\,km}{1L}=\dfrac{X\,km}{0,75C}

Haverá vantagem, quando RARGR_{A}\geqslant R_{G}, isto é:

Xkm0,75C12kmCx120,750,75Cx9\dfrac{X\,\cancel{km}}{0,75\cancel{C}}\geqslant \dfrac{12\cancel{km}}{\cancel{C}}\to\dfrac{x\geqslant 12\cdot 0,75}{\cancel{0,75C}}\to\boxed{x\geqslant 9}

Portanto, a partir de um rendimento mínimo de 99km port litro (resposta final).

0832

Resolva, em R\mathbb{R}, a seguinte inequação:

x22x+2>0x^2-2x+2>0

0832 - Resposta

S={xR}S=\{x\in\mathbb{R}\}

0832 - Solução

professorlopes

Observe o gráfico da função y=x22x+2y=x^2-2x+2

Lista001e

Portanto, a solução(S)(S), será: S={xR}\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}}

0831

Resolva, em R\mathbb{R}, a seguinte inequação:

x2x+10<16x^2-x+10<16

0831 - Resposta

S={xR/2<x<3}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2<x<3\right\}

0831 - Solução

professorlopes

Vamos analisar a inequação:

x2x+10<16x2x6<0x^2-x+10<16\to x^2-x-6<0

Observe o gráfico da função y=x2x6y=x^2-x-6

Lista001f

Portanto, a solução(S)(S), será: S={xR/2<x<3}\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2<x<3\right\}}

0830

Resolva, em R\mathbb{R}, a seguinte inequação:

1x+11x>0\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}>0

0830 - Resposta

S={xR/0<x<1}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,0<x<1\right\}

0830 - Solução

professorlopes

Analisando a inequação, teremos:

1x+11x>0y=1x(1x)>0\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}>0\to y=\dfrac{1}{x(1-x)}>0\quad ou

y=1xx2>0y=\dfrac{1}{x-x^2}>0, para x0x\neq 0 e x1x\neq 1

Vamos observar o gráfico da função y=1xx2y=\dfrac{1}{x-x^2}, para x0x\neq 0 e x1x\neq 1

Lista001g

Portanto, a solução(S)(S), será: S={xR/0<x<1}\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,0<x<1\right\}}

0829

Resolva, em R\mathbb{R}, a seguinte inequação:

x1x+1>0\dfrac{x-1}{x+1}>0

0829 - Resposta

S=xR/x<1  ou  x>1S=x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,x>1

0829 - Solução

professorlopes

Observe o gráfico da função:

y=x1x+1y=\dfrac{x-1}{x+1}, para x1x\neq -1

Lista001h

Portanto, a solução(S)(S), será: S=xR/x<1  ou  x>1\boxed{S=x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,x>1}

0828

Resolva, em R\mathbb{R}, a seguinte inequação:

(x+1)(x2)3(x7)(x2+7)0(x+1)(x-2)^3(x-7)(x^2+ 7)\geqslant 0

0828 - Resposta

S={xR/1x2  ou  x7}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 7\right\}

0828 - Solução

professorlopes

Observe o quadro de sinais:

Lista001i

Portanto, a solução(S)(S), será: S={xR/1x2  ou  x7}\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 7\right\}}

0827

Resolva, em R\mathbb{R}, a seguinte inequação:

(x+1)(3x)(x2)20(x+1)(3-x)(x-2)^2\geqslant 0

0827 - Resposta

S={xR/1x3}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 3\right\}

0827 - Solução

professorlopes

Observe o quadro de sinais:

Lista001j

Portanto, a solução(S)(S), será: S={xR/1x3}\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 3\right\}}

0826

Resolva, em R\mathbb{R}, a seguinte inequação:

(x+1)(3x)(x2)20(x+1)(3-x)(x-2)^2\leqslant 0

0826 - Resposta

S={xR/x1  ou  x=2  ou  x3}S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -1\,\,\text{ou}\,\,x=2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}

0826 - Solução

professorlopes

Observe o quadro de sinais:

Lista001k

Portanto, a solução(S)(S), será: S={xR/x1  ou  x=2  ou  x3}\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -1\,\,\text{ou}\,\,x=2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}}