Página34¶
0850¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a inequação simultânea \(3<x^2-2x+8<8\)
0850 - Resposta
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}\)
0850 - Solução
\(\Rrightarrow\)Estratégia de Resolução:
1.Nomear as inequações como \((I)\) e \((II)\)
2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções \(S_{I}\) e \(S_{II}\)
3.Obter a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\)
\(\Rrightarrow\)Resolução:
1. Nomeando
\(\underbrace{3<x^2-2x+8}_{(I)}<8\to x^2-2x+8>3\,\,(I)\)
\(3<\underbrace{x^2-2x+8<8}_{(II)}\to x^2-2x+8<8\,\,(II)\)
2. Resolvendo
2a. Resolvendo \((I)\), isto é: \(x^2-2x+8>3\to x^2-2x+5>0\)
Vamos resolver a equação \(x^2-2x+5=0\to\ldots\) Fórmula Quadrática \(\ldots\to \nexists x\in\mathbb{R}\)
O gráfico da função \(y=x^2-5x+5\) é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, como não há raízes reais, qualquer valor de "\(x\)" adotado como domínio, resultará uma imagem positiva.
Portanto, \(x^2-2x+5>0\to\forall x\in\mathbb{R}\), sendo esta a solução final\((S_{I})\):
\(S_{I}=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}\checkmark\)
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2b. Resolvendo \((II)\), isto é: \(x^2-2x+8<8\to x^2-2x<0\)
Vamos resolver a equação \(x^2-2x=0\to x(x-2)=0\to x_{1}=0\) ou \(x_{2}=2\)
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
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A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}\checkmark\)
3. Obtendo a solução final\((S)\) como \(S_{I}\cap S_{II}\):
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Portanto: \(S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}\checkmark\)
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0849¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a inequação simultânea \(2\leqslant x^2-x\leqslant 20-2x\)
0849 - Resposta
\(S=\{-5\leqslant x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,2\leqslant x\leqslant 4\}\)
0849 - Solução
\(\Rrightarrow\)Estratégia de Resolução:
1.Nomear as inequações como \((I)\) e \((II)\)
2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções \(S_{I}\) e \(S_{II}\)
3.Obter a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\)
\(\Rrightarrow\)Resolução:
1. Nomeando
\(\underbrace{2\leqslant x^2-x}_{(I)}\leqslant 20-2x\to x^2-x-2\geqslant 0\,\,(I)\)
\(2\leqslant\underbrace{x^2-x\leqslant 20-2x}_{(II)}\to x^2+x-20\leqslant 0\,\,(II)\)
2a. Resolvendo \((I)\)
\((I)\to x^2-x\geqslant 2\to x^2-x-2\geqslant 0\to x^2-x-2=0\) Fórmula Quadrática \(\to\)
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\times 1\times (-2)}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{1\pm 3}{2}\to x_{1}=-1\) ou \(x_{2}=2\)
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
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As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 2\}\checkmark\)
2b. Resolvendo \((II)\)
\(x^2+x-20\leqslant 0\to x^2+x-20=0\) Fórmula Quadrática \(\to\)
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times (-20)}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{-1\pm 9}{2}\to x_{1}=-5\) ou \(x_{2}=4\)
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
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A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-5\leqslant x\leqslant 4\}\)
3. Obtendo a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\):
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Portanto: \(S=\{-5\leqslant x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,2\leqslant x\leqslant 4\}\checkmark\)
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0848¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a inequação simultânea \(7\leqslant x^2+3<4x\)
0848 - Resposta
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,2\leqslant x<3\}\)
0848 - Solução
\(\Rrightarrow\)Estratégia de Resolução:
1.Nomear as inequações como \((I)\) e \((II)\)
2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções \(S_{I}\) e \(S_{II}\)
3.Obter a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\)
\(\Rrightarrow\)Resolução:
1. Nomeando
\(\underbrace{7\leqslant x^2+3}_{(I)}<4x\to x^2-4\geqslant 0\,\,(I)\)
\(7\leqslant\underbrace{x^2+3<4x}_{(II)}\to x^2-4x+3<0\,\,(II)\)
2a. Resolvendo \((I)\)
\(x^2-4\geqslant0\to x^2-4=0\to x_{1}=-2\,\,x_{2}=2\)
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
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As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant -2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 2\}\checkmark\)
2b. Resolvendo \((II)\)
\((II)\to x^2+3<4x\to x^2-4x+3<0\to x^2-4x+3=0\to\) Fórmula Quadrática \(\to\)
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times 3}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{4\pm 2}{2}\to x_{1}=1\) ou \(x_{2}=3\)
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
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A área hachurada indica o intervalo positivo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,1<x<3\}\checkmark\)
3. Obtendo a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\):
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Portanto: \(S\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,2\leqslant x<3\}\)
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0847¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a inequação simultânea \(-6<x^2-5x<6\)
0847 - Resposta
\(S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<2\,\,\text{ou}\,\,3<x<6\}\)
0847 - Solução
\(\Rrightarrow\)Estratégia de Resolução:
1.Nomear as inequações como \((I)\) e \((II)\)
2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções \(S_{I}\) e \(S_{II}\)
3.Obter a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\)
\(\Rrightarrow\)Resolução:
1. Nomeando
\(\underbrace{-6<x^2-5x}_{(I)}<6\to x^2-5x+6>0\,\,(I)\)
\(-6<\underbrace{x^2-5x<6}_{(II)}\to x^2-5x-6<0\,\,(II)\)
2a. Resolvendo \((I)\)
\(x^2-5x+6>0\to x^2-5x+6=0\to\) Fórmula Quadrática \(\to\)
\((I)\to x^2-5x+6>0\to x^2-5x+6=0\to\) Fórmula Quadrática \(\to\)
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{5\pm 1}{2}\to x_{1}=2\) ou \(x_{2}=3\)
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
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As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<2\,\,\text{ou}\,\,x>3\}\)
2b. Resolvendo \((II)\)
\((II)\to x^2-5x-6<0\to x^2-5x-6=0\to\) Fórmula Quadrática \(\to\)
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times(-6)}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{5\pm 7}{2}\to x_{1}=-1\) ou \(x_{2}=6\)
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
.svg)
A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<6\}\)
3. Obtendo a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\):
.png)
Portanto: \(S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<2\,\,\text{ou}\,\,3<x<6\}\)
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0846¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), o sistema de inequações
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x^2&-&1&\leqslant&0&\\ x^2&-&2x&>&0& \end{array}\right.\)
0846 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x < 0\right\}\)
0846 - Solução
\(\Rrightarrow\)Estratégia de Resolução:
1.Nomear as inequações como \((I)\) e \((II)\)
2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções \(S_{I}\) e \(S_{II}\)
3.Obter a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\)
\(\Rrightarrow\)Resolução:
1. Nomeando
\(\left\{\begin{array}{rcrcrr} x^2&-&1&\leqslant&0&(I)\\ x^2&-&2x&>&0&(II) \end{array}\right.\)
2a. Resolvendo \((I)\)
\(x^2-1\leqslant0\to x^2-1=0\to x=\pm 1\)
Duas raízes encontradas: \(x=-1\quad\) ou \(\quad x=1\)
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
.svg)
A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x\leqslant 1\}\)
2b. Resolvendo \((II)\)
\(x^2-2x>0\to x^2-2x=0\to\)
\(x(x-2)=0\to x=0,\,x=2\to\)
Duas raízes encontradas: \(x=0\quad\) ou \(\quad x=1\)
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
.svg)
As duas áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<0\,\,\text{ou}\,\,x>2\}\)
3. Obtendo a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\):
.png)
Portanto: \(\boldsymbol{S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x < 0\}\,\checkmark}\)
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0845¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), o sistema de inequações
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x^2&+&6x&+&8&\geqslant&0&\\ &&x&+&5&<&0& \end{array}\right.\)
0845 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\right\}\)
0845 - Solução
\(\Rrightarrow\)Estratégia de Resolução:
1.Nomear as inequações como \((I)\) e \((II)\)
2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções \(S_{I}\) e \(S_{II}\)
3.Obter a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\)
\(\Rrightarrow\)Resolução:
1. Nomeando
\(\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x^2&+&6x&+&8&\geqslant&0&(I)\\ &&x&+&5&<&0&(II) \end{array}\right.\)
2a. Resolvendo \((I)\)
\(x^2+6x+8=0\to\ldots\)Fórmula Quadrática\(\ldots\)
\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\), para \(a=1\,\,\) \(b=6\,\,\) \(c=8\):
\(x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times 1\times 8}}{2\times 1}\to x=\dfrac{-6\pm 2}{2}\to\)
Duas raízes: \(x_{1}=-4\quad\) e \(\quad x_{2}=-2\)
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima\((a=1>0)\) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
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As duas áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant-4\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant-2\}\)
2b. Resolvendo \((II)\)
\(x+5<0\to x<-5\)
O gráfico dessa função é uma reta, crescente e, com a raiz encontrada, tem esse esboço:
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A área hachurada indica o inervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
\(S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\}\)
3. Obtendo a solução final\((S)\) da interseção \(S_{I}\cap S_{II}\):
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Portanto: \(\boldsymbol{S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\}\,\checkmark}\)
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0844¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a inequação modular \(|3x-5|\geqslant 4\)
0844 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}\)
0844 - Solução
1ª Forma de Resolução:
De acordo com as propriedades de módulo para números reais\((k)\), \(k\in\mathbb{R}\), temos dois casos possíveis:
- \(|x|<k\quad\Longleftrightarrow\quad-k<x<k\)
- \(|x|>k\quad\Longleftrightarrow\quad x<-k\,\,\text{ou}\,\,x>k\)
À nossa questão, o segundo caso, com duas possibilidades:
\(3x-5\leqslant-4\to 3x\leqslant 1\to x\leqslant\dfrac{1}{3}\quad(I)\)
ou
\(3x-5\geqslant 4\to3x\geqslant 9\to x\geqslant 3\quad(II)\)
Como solução\((S)\) final, devemos ter \((I)\cup (II)\):
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}\)
2ª Forma de Resolução:
De acordo com a definição de Módulo:
\(|x|=\left\{\begin{array}{rcrr}x,&\text{se}&x\geqslant 0\\-x,&\text{se}& x<0\end{array}\right.\)
Então:
\(|3x-5|=\left\{\begin{array}{rcrl}3x-5,&\text{se}&3x-5\geqslant 0\to&x\geqslant\dfrac{5}{3}\quad(I)\\\\-3x+5,&\text{se}& 3x-5<0\to&x<\dfrac{5}{3}\,\,(II)\end{array}\right.\)
Analisando as duas possibilidades:
\((I)\) Para \(x\geqslant\dfrac{5}{3}\to 3x-5\geqslant4\to 3x\geqslant9\to\boxed{x\geqslant 3}\,\,\checkmark\quad\text{Final}\,\,(I)\)
\((II)\) Para \(\underbrace{x<\dfrac{5}{3}}_{\text{\textcircled 1}}\to -3x+5\geqslant4\to -3x\geqslant-1\to\underbrace{x\leqslant\dfrac{1}{3}}_{\text{\textcircled 2}}\to\)
\(\quad\quad\quad\text{\textcircled 1}\,\cap\text{\textcircled 2}\Rightarrow \boxed{x\leqslant\dfrac{1}{3}}\,\,\checkmark\quad\text{Final}\,\,(II)\)
Como solução\((S)\) final, devemos ter \((I)\cup (II)\):
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}\)
0843¶
Simplifique as expressões:
a) \(\quad\dfrac{n!}{(n-1)!}\quad\) b) \(\quad\dfrac{(n+4)!}{(n+2)!+(n+3)!}\quad\) c) \(\quad\dfrac{(n-1)!+n!}{(n+1)!}\)
Fatorial(\(n!\))
Por definição, a operação de fatorial(\(!\)) somente é possível quando utilizamos números naturais. Em símbolos:
Para \(\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}\), define-se \(\quad\boldsymbol{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\)
0843 - Respostas
a) \(\boldsymbol{n}\quad\) b) \(\boldsymbol{n+3}\quad\) c) \(\boldsymbol{\dfrac{1}{n}}\)
0843 - Soluções
a) \(\dfrac{n!}{(n-1)!}=\dfrac{n(\cancel{n-1!})}{\cancel{(n-1)!}}=\boldsymbol{n}\,\,\checkmark\)
b) \(\dfrac{(n+4)!}{(n+2)!+(n+3)!}=\dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)!}{(n+2!)+[(n+3)(n+2)!]}=\)
\(\dfrac{(n+4)(n+3)\cancel{(n+2)!}}{\cancel{(n+2)!}[1+n+3]}=\dfrac{\cancel{(n+4)}(n+3)}{\cancel{n+4}}=\boldsymbol{n+3}\,\,\checkmark\)
c) \(\dfrac{(n-1)!+n!}{(n+1)!}=\dfrac{(n-1)!+n(n-1)!}{(n+1)\cdot n\cdot(n-1)!}=\)
\(\dfrac{\cancel{(n-1)!}\cdot\cancel{(1+n)}}{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot\cancel{(n+1)}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{n}}\,\,\checkmark\)
0842¶
Resolva as equações:
a) \(\quad\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12\quad\) b) \(\quad\dfrac{(n+10)!}{(n+8)!}=30\)
Fatorial(\(n!\))
Por definição, a operação de fatorial(\(!\)) somente é possível quando utilizamos números naturais. Em símbolos:
Para \(\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}\), define-se \(\quad\boldsymbol{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1}\)
0842 - Respostas
a) \(n=3\quad\) b) \(\not\exists\,n\in\mathbb{N}\)
0842 - Soluções
a) \(\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12\to\dfrac{(n+1)\cdot n\cdot\cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}}=12\to\)
\(n(n+1)-12=0\to\boldsymbol{n^2+n-12=0}\Rightarrow\,\,\text{Fórmula Quadrática}\)
\(n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to n=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times(-12)}}{2\times 1}\to\)
\(n=\dfrac{-1\pm\sqrt{49}}{2}\to n=\dfrac{-1\pm7}{2}\to \cancel{n=-4}\,\,\text{ou}\,\,\boldsymbol{\boxed{n=3}}\,\,\checkmark\)
b) \(\dfrac{(n+10)}{(n+8)!}=30\to\dfrac{(n+10)\cdot(n+9)\cdot\cancel{(n+8)!}}{\cancel{(n+8)!}}=30\to\)
\((n+10)\cdot(n+9)=30\to n^2+19n+90-30=0\to\)
\(n^2+19n+60=0\to\text{Fórmula Quadrática}\)
\(n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to\)
\(n=\dfrac{-19\pm\sqrt{19^2-4\times 1\times 60}}{2\times 1}\to\)
\(n=\dfrac{-19\pm\sqrt{121}}{2}\to\)
\(n_1=\dfrac{-19-11}{2}\to \cancel{n_1=-15}\quad\)
ou
\(n_2=\dfrac{-19+11}{2}\to \cancel{n_2=-4}\)
Portanto, \(\boldsymbol{\not\exists\,n\in\mathbb{N}}\)
0841¶
Resolvida em \(\mathbb{R}\) a equação modular \(\left|x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{5}{4}\)
0841 - Respostas
\(x=\dfrac{5-\sqrt{31}}{4}\,\,\) ou \(\,\,x=\dfrac{5-\sqrt{21}}{4}\,\,\) ou \(\,\,x=\dfrac{5+\sqrt{21}}{4}\,\,\) ou \(\,\,x=\dfrac{5+\sqrt{31}}{4}\,\,\)
0841 - Soluções
Na resolução de equações modulares(nosso caso) da forma
\(|x-a|=k;\,a,k\in\mathbb{R}\)
adotamos a seguinte estratégia, com duas possibilidades:
\(|x-a|=k\)
ou
\(|x-a|=-k\)
Isto posto, vamos ao exercício:
Primeira Possibilidade:
\(x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\to 4x^2-10x-\dfrac{3}{2}=0\to(Bhaskara)\)
\(x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times 4\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)}}{2\times 4}\to\)
\(x=\dfrac{10\pm\sqrt{100+24}}{8}\to x=\dfrac{10\pm 2\sqrt{31}}{8}\to\)
\(\boldsymbol{\boxed{x_{1}=\dfrac{5-\sqrt{31}}{4}\,\,\text{ou}\,\,x_{2}=\dfrac{5+\sqrt{31}}{4}}\,\,\checkmark}\)
Segunda Possibilidade:
\(x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{5}{4}\to 4x^2-10x+1=0\to(Bhaskara)\)
\(x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times 4\times 1}}{2\times 4}\to\)
\(x=\dfrac{1=\pm\sqrt{100-16}}{8}\to x=\dfrac{10\pm2\sqrt{21}}{8}\to\)
\(\boldsymbol{\boxed{x_{3}=\dfrac{5-\sqrt{21}}{4}\,\,\text{ou}\,\,x_{4}=\dfrac{5+\sqrt{21}}{4}}\,\,\checkmark}\)
0840¶
Resolva a equação \(3x^2+4x+2=0\)
0840 - Resposta
\(x=\dfrac{-2-i\sqrt{2}}{3}\) ou \(x=\dfrac{-2+i\sqrt{2}}{3}\)
0840 - Solução
Observe que não foi citado o conjunto universo a ser adotado, assim, devemos tomar o maior conhecido, isto é, \(\mathbb{U}=\mathbb{C}\) e seguir a resolução normalmente utilizando a fórmula de Bhaskara:
\(\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}}\to\)
\(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times 3\times 2}}{2\times 3}\to\)
\(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-24}}{6}\to x=\dfrac{-4\pm\sqrt{-8}}{6}\)
\(x=\dfrac{-4\pm 2i\sqrt{2}}{6}\to x=\dfrac{\cancel{2}(-2\pm i\sqrt{2})}{\cancel{6}}\to\)
\(\boxed{x_{1}=\dfrac{-2-i\sqrt{2}}{3}}\checkmark\) ou \(\boxed{x_{2}=\dfrac{-2+i\sqrt{2}}{3}}\checkmark\)
0839¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação: \(x^2-4x-12=0\)
0839 - Resposta
\(x=-2\) ou \(x=6\)
0839 - Solução
Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara); assim:
\(x^2-4x-12=0\to a=1;\quad b=-4;\quad c=-12\) a serem aplicados em:
\(\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}}\)
\(x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times(-12)}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+48}}{2}\to x=\dfrac{4\pm\sqrt{64}}{2}\to\)
\(x=\dfrac{4\pm 8}{2}\to\ldots\boxed{x_{1}=-2}\checkmark\) ou \(\boxed{x_{2}=6}\checkmark\)
OBS: Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, as raízes \(-2\) e \(6\), indicam as ordenadas onde esse gráfico corta o eixo das abscissas; além disso, a curva desse gráfico é voltada para cima, pois \(a=1>0\).
0838¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação: \(y^2-16y+64=0\)
0838 - Resposta
\(y=8\)
0838 - Solução
Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara), entretanto, uma observação mais atenta nota-se que esse trinômio do segundo grau é o desenvolvimento de um produto notável do tipo \((ax-b)^2\), tornando a resolução mais simples; assim:
\(y^2-16y+64=0\to (y-8)^2=0\to y-8=0\to\boxed{y=8}\checkmark\)
OBS: Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, a raiz \(8\) é chamada de raiz dupla, embora o gráfico toque no eixo das abscissas apenas uma vez.
0837¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a equação: \(4x^2-4x+1=0\)
0837 - Resposta
\(x=\dfrac{1}{2}\)
0837 - Solução
Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara), entretanto, uma observação mais atenta nota-se que esse trinômio do segundo grau é o desenvolvimento de um produto notável do tipo \((ax-b)^2\), tornando a resolução mais simples; assim:
\(4x^2-4x+1=0\to (2x-1)^2=0\to 2x-1=0\to\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\checkmark\)
OBS: Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, a raiz \(\dfrac{1}{2}\) é chamada de raiz dupla, embora o gráfico toque no eixo das abscissas apenas uma vez.
0836¶
(UCS-RS) A relação entre a quantidade em oferta de determinado produto e o seu preço, quando este for \(x\) reais por unidade, é dada pela equação \(q=x^2+3x-70\). Já a procura por esse produto (quantidade que os consumidores estão dispostos a comprar), quando o preço for \(x\) reais, é dada pela equação \(d=410-x\).
O equilíbrio no mercado ocorre quando \(q\) e \(d\) são iguais. Sendo \(x_{0}\) o preço e \(y_{0}\) a quantidade quando ocorre o equilíbrio, obtenha o valor da expressão \(y_{0}-x_{0}\).
0836 - Resposta
\(y_{0}-x_{0}=370\)
0836 - Solução
Algumas considerações:
1ª) Para \(q=d\), teremos uma equação do segundo grau que será resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara):
\(x^2+3x-70=410-x\to x^2+4x-480=0\Rrightarrow\quad\) Bhaskara
\(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times 1\times(-480)}}{2\times 1}\to\)
\(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{1936}}{2}\to x=\dfrac{-4\pm 44}{2}\to\boxed{x_{0}=20}\checkmark\)
Obs: Apenas o valor positivo de \(x\) foi considerado, pois trata-se de valor(em reais) por unidade.
2ª) Além disso, no equilíbrio, teremos:
\(q=d=y_{0}=410-x_{0}\to y_{0}=410-20\to\boxed{y_{0}=390}\checkmark\)
Finalmente, encontraremos o valor da expressão:
\(y_{0}-x_{0}=390-20=370\) (resposta final)
0835¶
(Ufam) Sendo \((x+y)^2-(x-y)^2=30\), obtenha \(2xy\).
0835 - Resposta
\(2xy=15\)
0835 - Solução
Vamos desenvolver os produtos notáveis:
\(x^2+2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2)=30\to\)
\(\cancel{x^2}+2xy+\cancel{y^2}-\cancel{x^2}+2xy-\cancel{y^2}=30\to\)
\(4xy=30\to\boxed{2xy=15}\checkmark\)
0834¶
(Uerj) Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de passageiros no vagão corresponde a 120. Determine o valor de n.
0834 - Resposta
\(n=125\) pessoas
0834 - Solução
Como \(n\) corresponde ao número de passageiros inicialmente no trem e na primeira estação desembarcaram 20% dos passageiros, podemos representar os passageiros que seguiram a viagem como \((100\%-20\%)\cdot n=(80\%)\cdot n\).
Já na segunda parada entraram 20% da quantidade de passageiros que havia no trem, isto é: \((100\%+20\%)\) de \((80\%)\) de \(n\).
Esse número é igual a 120 passageiros que restaram no trem. Em símbolos:
\(1,2\cdot 0,8\cdot n=120\to 0,96\cdot n=120\to n=\dfrac{120}{0,96}\to \boxed{n=125}\checkmark\)
Portanto \(n\) corresponde a \(125\) pessoas.
0833¶
Um carro movido a gasolina faz \(12\) km por litro. Sabe-se que o preço do litro de álcool é fixado pelo governo como sendo \(75\%\) do preço do litro de gasolina. Um carro a álcool passa a ser mais econômico, quando comparado com um carro a gasolina, a partir de um rendimento mínimo de \(X\) km por litro. Obtenha o valor mínimo de \(X\).
0833 - Resposta
\(X=9\)
0833 - Solução
Supondo o litro de gasolina custando "\(C\)", o litro de álcool, custará "\(0,75C\)". Pelos dados, poderemos obter o rendimento(\(R\)):
\(\Rrightarrow\)Com a gasolina, teremos o rendimento (\(R_{G}\)):
\(R_{G}=\dfrac{12km}{1L}=\dfrac{12km}{C}\)
\(\Rrightarrow\)Com o álcool, teremos o rendimento (\(R_{A}\)):
\(R_{A}=\dfrac{X\,km}{1L}=\dfrac{X\,km}{0,75C}\)
Haverá vantagem, quando \(R_{A}\geqslant R_{G}\), isto é:
\(\dfrac{X\,\cancel{km}}{0,75\cancel{C}}\geqslant \dfrac{12\cancel{km}}{\cancel{C}}\to\dfrac{x\geqslant 12\cdot 0,75}{\cancel{0,75C}}\to\boxed{x\geqslant 9}\)
Portanto, a partir de um rendimento mínimo de \(9\)km port litro (resposta final).
0832¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(x^2-2x+2>0\)
0832 - Resposta
\(S=\{x\in\mathbb{R}\}\)
0832 - Solução
Observe o gráfico da função \(y=x^2-2x+2\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}}\)
0831¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(x^2-x+10<16\)
0831 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2<x<3\right\}\)
0831 - Solução
Vamos analisar a inequação:
\(x^2-x+10<16\to x^2-x-6<0\)
Observe o gráfico da função \(y=x^2-x-6\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2<x<3\right\}}\)
0830¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}>0\)
0830 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,0<x<1\right\}\)
0830 - Solução
Analisando a inequação, teremos:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}>0\to y=\dfrac{1}{x(1-x)}>0\quad\) ou
\(y=\dfrac{1}{x-x^2}>0\), para \(x\neq 0\) e \(x\neq 1\)
Vamos observar o gráfico da função \(y=\dfrac{1}{x-x^2}\), para \(x\neq 0\) e \(x\neq 1\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,0<x<1\right\}}\)
0829¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\(\dfrac{x-1}{x+1}>0\)
0829 - Resposta
\(S=x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,x>1\)
0829 - Solução
Observe o gráfico da função:
\(y=\dfrac{x-1}{x+1}\), para \(x\neq -1\)
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,x>1}\)
0828¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\((x+1)(x-2)^3(x-7)(x^2+ 7)\geqslant 0\)
0828 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 7\right\}\)
0828 - Solução
Observe o quadro de sinais:
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 7\right\}}\)
0827¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\((x+1)(3-x)(x-2)^2\geqslant 0\)
0827 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 3\right\}\)
0827 - Solução
Observe o quadro de sinais:
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 3\right\}}\)
0826¶
Resolva, em \(\mathbb{R}\), a seguinte inequação:
\((x+1)(3-x)(x-2)^2\leqslant 0\)
0826 - Resposta
\(S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -1\,\,\text{ou}\,\,x=2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}\)
0826 - Solução
Observe o quadro de sinais:
Portanto, a solução\((S)\), será: \(\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -1\,\,\text{ou}\,\,x=2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}}\)