Página34

0850

Resolva, em $\mathbb{R}$, a inequação simultânea $3<x^2-2x+8<8$

0850 - Resposta

$S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}$

0850 - Solução

$\Rrightarrow$Estratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como $(I)$ e $(II)$

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções $S_{I}$ e $S_{II}$

3.Obter a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$

$\Rrightarrow$Resolução:

1. Nomeando

$\underbrace{3<x^2-2x+8}_{(I)}<8\to x^2-2x+8>3\,\,(I)$

$3<\underbrace{x^2-2x+8<8}_{(II)}\to x^2-2x+8<8\,\,(II)$

2. Resolvendo

2a. Resolvendo $(I)$, isto é: $x^2-2x+8>3\to x^2-2x+5>0$

Vamos resolver a equação $x^2-2x+5=0\to\ldots$ Fórmula Quadrática $\ldots\to \nexists x\in\mathbb{R}$

O gráfico da função $y=x^2-5x+5$ é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, como não há raízes reais, qualquer valor de "$x$" adotado como domínio, resultará uma imagem positiva.

Portanto, $x^2-2x+5>0\to\forall x\in\mathbb{R}$, sendo esta a solução final$(S_{I})$:

$S_{I}=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}\checkmark$

2b. Resolvendo $(II)$, isto é: $x^2-2x+8<8\to x^2-2x<0$

Vamos resolver a equação $x^2-2x=0\to x(x-2)=0\to x_{1}=0$ ou $x_{2}=2$

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}\checkmark$

3. Obtendo a solução final$(S)$ como $S_{I}\cap S_{II}$:

Portanto: $S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}\checkmark$

0849

Resolva, em $\mathbb{R}$, a inequação simultânea $2\leqslant x^2-x\leqslant 20-2x$

0849 - Resposta

$S=\{-5\leqslant x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,2\leqslant x\leqslant 4\}$

0849 - Solução

$\Rrightarrow$Estratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como $(I)$ e $(II)$

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções $S_{I}$ e $S_{II}$

3.Obter a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$

$\Rrightarrow$Resolução:

1. Nomeando

$\underbrace{2\leqslant x^2-x}_{(I)}\leqslant 20-2x\to x^2-x-2\geqslant 0\,\,(I)$

$2\leqslant\underbrace{x^2-x\leqslant 20-2x}_{(II)}\to x^2+x-20\leqslant 0\,\,(II)$

2a. Resolvendo $(I)$

$(I)\to x^2-x\geqslant 2\to x^2-x-2\geqslant 0\to x^2-x-2=0$ Fórmula Quadrática $\to$

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\times 1\times (-2)}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{1\pm 3}{2}\to x_{1}=-1$ ou $x_{2}=2$

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 2\}\checkmark$

2b. Resolvendo $(II)$

$x^2+x-20\leqslant 0\to x^2+x-20=0$ Fórmula Quadrática $\to$

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times (-20)}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{-1\pm 9}{2}\to x_{1}=-5$ ou $x_{2}=4$

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-5\leqslant x\leqslant 4\}$

3. Obtendo a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$:

Portanto: $S=\{-5\leqslant x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,2\leqslant x\leqslant 4\}\checkmark$

0848

Resolva, em $\mathbb{R}$, a inequação simultânea $7\leqslant x^2+3<4x$

0848 - Resposta

$S=\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,2\leqslant x<3\}$

0848 - Solução

$\Rrightarrow$Estratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como $(I)$ e $(II)$

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções $S_{I}$ e $S_{II}$

3.Obter a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$

$\Rrightarrow$Resolução:

1. Nomeando

$\underbrace{7\leqslant x^2+3}_{(I)}<4x\to x^2-4\geqslant 0\,\,(I)$

$7\leqslant\underbrace{x^2+3<4x}_{(II)}\to x^2-4x+3<0\,\,(II)$

2a. Resolvendo $(I)$

$x^2-4\geqslant0\to x^2-4=0\to x_{1}=-2\,\,x_{2}=2$

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant -2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 2\}\checkmark$

2b. Resolvendo $(II)$

$(II)\to x^2+3<4x\to x^2-4x+3<0\to x^2-4x+3=0\to$ Fórmula Quadrática $\to$

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times 3}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{4\pm 2}{2}\to x_{1}=1$ ou $x_{2}=3$

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

A área hachurada indica o intervalo positivo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,1<x<3\}\checkmark$

3. Obtendo a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$:

Portanto: $S\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,2\leqslant x<3\}$

0847

Resolva, em $\mathbb{R}$, a inequação simultânea $-6<x^2-5x<6$

0847 - Resposta

$S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<2\,\,\text{ou}\,\,3<x<6\}$

0847 - Solução

$\Rrightarrow$Estratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como $(I)$ e $(II)$

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções $S_{I}$ e $S_{II}$

3.Obter a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$

$\Rrightarrow$Resolução:

1. Nomeando

$\underbrace{-6<x^2-5x}_{(I)}<6\to x^2-5x+6>0\,\,(I)$

$-6<\underbrace{x^2-5x<6}_{(II)}\to x^2-5x-6<0\,\,(II)$

2a. Resolvendo $(I)$

$x^2-5x+6>0\to x^2-5x+6=0\to$ Fórmula Quadrática $\to$

$(I)\to x^2-5x+6>0\to x^2-5x+6=0\to$ Fórmula Quadrática $\to$

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{5\pm 1}{2}\to x_{1}=2$ ou $x_{2}=3$

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<2\,\,\text{ou}\,\,x>3\}$

2b. Resolvendo $(II)$

$(II)\to x^2-5x-6<0\to x^2-5x-6=0\to$ Fórmula Quadrática $\to$

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times(-6)}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{5\pm 7}{2}\to x_{1}=-1$ ou $x_{2}=6$

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<6\}$

3. Obtendo a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$:

Portanto: $S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<2\,\,\text{ou}\,\,3<x<6\}$

0846

Resolva, em $\mathbb{R}$, o sistema de inequações

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x^2&-&1&\leqslant&0&\\ x^2&-&2x&>&0& \end{array}\right.$

0846 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x < 0\right\}$

0846 - Solução

$\Rrightarrow$Estratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como $(I)$ e $(II)$

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções $S_{I}$ e $S_{II}$

3.Obter a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$

$\Rrightarrow$Resolução:

1. Nomeando

$\left\{\begin{array}{rcrcrr} x^2&-&1&\leqslant&0&(I)\\ x^2&-&2x&>&0&(II) \end{array}\right.$

2a. Resolvendo $(I)$

$x^2-1\leqslant0\to x^2-1=0\to x=\pm 1$

Duas raízes encontradas: $x=-1\quad$ ou $\quad x=1$

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x\leqslant 1\}$

2b. Resolvendo $(II)$

$x^2-2x>0\to x^2-2x=0\to$

$x(x-2)=0\to x=0,\,x=2\to$

Duas raízes encontradas: $x=0\quad$ ou $\quad x=1$

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

As duas áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<0\,\,\text{ou}\,\,x>2\}$

3. Obtendo a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$:

Portanto: $\boldsymbol{S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x < 0\}\,\checkmark}$

0845

Resolva, em $\mathbb{R}$, o sistema de inequações

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x^2&+&6x&+&8&\geqslant&0&\\ &&x&+&5&<&0& \end{array}\right.$

0845 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\right\}$

0845 - Solução

$\Rrightarrow$Estratégia de Resolução:

1.Nomear as inequações como $(I)$ e $(II)$

2.Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções $S_{I}$ e $S_{II}$

3.Obter a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$

$\Rrightarrow$Resolução:

1. Nomeando

$\left\{\begin{array}{rcrcrcrr} x^2&+&6x&+&8&\geqslant&0&(I)\\ &&x&+&5&<&0&(II) \end{array}\right.$

2a. Resolvendo $(I)$

$x^2+6x+8=0\to\ldots$Fórmula Quadrática$\ldots$

$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}$, para $a=1\,\,$ $b=6\,\,$ $c=8$:

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times 1\times 8}}{2\times 1}\to x=\dfrac{-6\pm 2}{2}\to$

Duas raízes: $x_{1}=-4\quad$ e $\quad x_{2}=-2$

O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima$(a=1>0)$ e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:

As duas áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant-4\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant-2\}$

2b. Resolvendo $(II)$

$x+5<0\to x<-5$

O gráfico dessa função é uma reta, crescente e, com a raiz encontrada, tem esse esboço:

A área hachurada indica o inervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:

$S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\}$

3. Obtendo a solução final$(S)$ da interseção $S_{I}\cap S_{II}$:

Portanto: $\boldsymbol{S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\}\,\checkmark}$

---

0844

Resolva, em $\mathbb{R}$, a inequação modular $|3x-5|\geqslant 4$

0844 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}$

0844 - Solução

1ª Forma de Resolução:

De acordo com as propriedades de módulo para números reais$(k)$, $k\in\mathbb{R}$, temos dois casos possíveis:

1. $|x|<k\quad\Longleftrightarrow\quad-k<x<k$
2. $|x|>k\quad\Longleftrightarrow\quad x<-k\,\,\text{ou}\,\,x>k$

À nossa questão, o segundo caso, com duas possibilidades:

$3x-5\leqslant-4\to 3x\leqslant 1\to x\leqslant\dfrac{1}{3}\quad(I)$

ou

$3x-5\geqslant 4\to3x\geqslant 9\to x\geqslant 3\quad(II)$

Como solução$(S)$ final, devemos ter $(I)\cup (II)$:

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}$

---

2ª Forma de Resolução:

De acordo com a definição de Módulo:

$|x|=\left\{\begin{array}{rcrr}x,&\text{se}&x\geqslant 0\\-x,&\text{se}& x<0\end{array}\right.$

Então:

$|3x-5|=\left\{\begin{array}{rcrl}3x-5,&\text{se}&3x-5\geqslant 0\to&x\geqslant\dfrac{5}{3}\quad(I)\\\\-3x+5,&\text{se}& 3x-5<0\to&x<\dfrac{5}{3}\,\,(II)\end{array}\right.$

Analisando as duas possibilidades:

$(I)$ Para $x\geqslant\dfrac{5}{3}\to 3x-5\geqslant4\to 3x\geqslant9\to\boxed{x\geqslant 3}\,\,\checkmark\quad\text{Final}\,\,(I)$

$(II)$ Para $\underbrace{x<\dfrac{5}{3}}_{\text{\textcircled 1}}\to -3x+5\geqslant4\to -3x\geqslant-1\to\underbrace{x\leqslant\dfrac{1}{3}}_{\text{\textcircled 2}}\to$

$\quad\quad\quad\text{\textcircled 1}\,\cap\text{\textcircled 2}\Rightarrow \boxed{x\leqslant\dfrac{1}{3}}\,\,\checkmark\quad\text{Final}\,\,(II)$

Como solução$(S)$ final, devemos ter $(I)\cup (II)$:

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}$

0843

Simplifique as expressões:

a) $\quad\dfrac{n!}{(n-1)!}\quad$ b) $\quad\dfrac{(n+4)!}{(n+2)!+(n+3)!}\quad$ c) $\quad\dfrac{(n-1)!+n!}{(n+1)!}$

Fatorial($n!$)

Por definição, a operação de fatorial($!$) somente é possível quando utilizamos números naturais. Em símbolos:

Para $\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}$, define-se $\quad\boldsymbol{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$

0843 - Respostas

a) $\boldsymbol{n}\quad$ b) $\boldsymbol{n+3}\quad$ c) $\boldsymbol{\dfrac{1}{n}}$

0843 - Soluções

a) $\dfrac{n!}{(n-1)!}=\dfrac{n(\cancel{n-1!})}{\cancel{(n-1)!}}=\boldsymbol{n}\,\,\checkmark$

---

b) $\dfrac{(n+4)!}{(n+2)!+(n+3)!}=\dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)!}{(n+2!)+[(n+3)(n+2)!]}=$

$\dfrac{(n+4)(n+3)\cancel{(n+2)!}}{\cancel{(n+2)!}[1+n+3]}=\dfrac{\cancel{(n+4)}(n+3)}{\cancel{n+4}}=\boldsymbol{n+3}\,\,\checkmark$

---

c) $\dfrac{(n-1)!+n!}{(n+1)!}=\dfrac{(n-1)!+n(n-1)!}{(n+1)\cdot n\cdot(n-1)!}=$

$\dfrac{\cancel{(n-1)!}\cdot\cancel{(1+n)}}{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot\cancel{(n+1)}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{n}}\,\,\checkmark$

0842

Resolva as equações:

a) $\quad\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12\quad$ b) $\quad\dfrac{(n+10)!}{(n+8)!}=30$

Fatorial($n!$)

Por definição, a operação de fatorial($!$) somente é possível quando utilizamos números naturais. Em símbolos:

Para $\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}$, define-se $\quad\boldsymbol{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1}$

0842 - Respostas

a) $n=3\quad$ b) $\not\exists\,n\in\mathbb{N}$

0842 - Soluções

a) $\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12\to\dfrac{(n+1)\cdot n\cdot\cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}}=12\to$

$n(n+1)-12=0\to\boldsymbol{n^2+n-12=0}\Rightarrow\,\,\text{Fórmula Quadrática}$

$n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to n=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times(-12)}}{2\times 1}\to$

$n=\dfrac{-1\pm\sqrt{49}}{2}\to n=\dfrac{-1\pm7}{2}\to \cancel{n=-4}\,\,\text{ou}\,\,\boldsymbol{\boxed{n=3}}\,\,\checkmark$

---

b) $\dfrac{(n+10)}{(n+8)!}=30\to\dfrac{(n+10)\cdot(n+9)\cdot\cancel{(n+8)!}}{\cancel{(n+8)!}}=30\to$

$(n+10)\cdot(n+9)=30\to n^2+19n+90-30=0\to$

$n^2+19n+60=0\to\text{Fórmula Quadrática}$

$n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to$

$n=\dfrac{-19\pm\sqrt{19^2-4\times 1\times 60}}{2\times 1}\to$

$n=\dfrac{-19\pm\sqrt{121}}{2}\to$

$n_1=\dfrac{-19-11}{2}\to \cancel{n_1=-15}\quad$

ou

$n_2=\dfrac{-19+11}{2}\to \cancel{n_2=-4}$

Portanto, $\boldsymbol{\not\exists\,n\in\mathbb{N}}$

0841

Resolvida em $\mathbb{R}$ a equação modular $\left|x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{5}{4}$

0841 - Respostas

$x=\dfrac{5-\sqrt{31}}{4}\,\,$ ou $\,\,x=\dfrac{5-\sqrt{21}}{4}\,\,$ ou $\,\,x=\dfrac{5+\sqrt{21}}{4}\,\,$ ou $\,\,x=\dfrac{5+\sqrt{31}}{4}\,\,$

0841 - Soluções

Na resolução de equações modulares(nosso caso) da forma

$|x-a|=k;\,a,k\in\mathbb{R}$

adotamos a seguinte estratégia, com duas possibilidades:

$|x-a|=k$

ou

$|x-a|=-k$

Isto posto, vamos ao exercício:

Primeira Possibilidade:

$x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\to 4x^2-10x-\dfrac{3}{2}=0\to(Bhaskara)$

$x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times 4\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)}}{2\times 4}\to$

$x=\dfrac{10\pm\sqrt{100+24}}{8}\to x=\dfrac{10\pm 2\sqrt{31}}{8}\to$

$\boldsymbol{\boxed{x_{1}=\dfrac{5-\sqrt{31}}{4}\,\,\text{ou}\,\,x_{2}=\dfrac{5+\sqrt{31}}{4}}\,\,\checkmark}$

---

Segunda Possibilidade:

$x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{5}{4}\to 4x^2-10x+1=0\to(Bhaskara)$

$x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times 4\times 1}}{2\times 4}\to$

$x=\dfrac{1=\pm\sqrt{100-16}}{8}\to x=\dfrac{10\pm2\sqrt{21}}{8}\to$

$\boldsymbol{\boxed{x_{3}=\dfrac{5-\sqrt{21}}{4}\,\,\text{ou}\,\,x_{4}=\dfrac{5+\sqrt{21}}{4}}\,\,\checkmark}$

0840

Resolva a equação $3x^2+4x+2=0$

0840 - Resposta

$x=\dfrac{-2-i\sqrt{2}}{3}$ ou $x=\dfrac{-2+i\sqrt{2}}{3}$

0840 - Solução

Observe que não foi citado o conjunto universo a ser adotado, assim, devemos tomar o maior conhecido, isto é, $\mathbb{U}=\mathbb{C}$ e seguir a resolução normalmente utilizando a fórmula de Bhaskara:

$\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}}\to$

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times 3\times 2}}{2\times 3}\to$

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-24}}{6}\to x=\dfrac{-4\pm\sqrt{-8}}{6}$

$x=\dfrac{-4\pm 2i\sqrt{2}}{6}\to x=\dfrac{\cancel{2}(-2\pm i\sqrt{2})}{\cancel{6}}\to$

$\boxed{x_{1}=\dfrac{-2-i\sqrt{2}}{3}}\checkmark$ ou $\boxed{x_{2}=\dfrac{-2+i\sqrt{2}}{3}}\checkmark$

0839

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação: $x^2-4x-12=0$

0839 - Resposta

$x=-2$ ou $x=6$

0839 - Solução

Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara); assim:

$x^2-4x-12=0\to a=1;\quad b=-4;\quad c=-12$ a serem aplicados em:

$\boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}}$

$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times(-12)}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+48}}{2}\to x=\dfrac{4\pm\sqrt{64}}{2}\to$

$x=\dfrac{4\pm 8}{2}\to\ldots\boxed{x_{1}=-2}\checkmark$ ou $\boxed{x_{2}=6}\checkmark$

OBS: Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, as raízes $-2$ e $6$, indicam as ordenadas onde esse gráfico corta o eixo das abscissas; além disso, a curva desse gráfico é voltada para cima, pois $a=1>0$.

0838

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação: $y^2-16y+64=0$

0838 - Resposta

$y=8$

0838 - Solução

Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara), entretanto, uma observação mais atenta nota-se que esse trinômio do segundo grau é o desenvolvimento de um produto notável do tipo $(ax-b)^2$, tornando a resolução mais simples; assim:

$y^2-16y+64=0\to (y-8)^2=0\to y-8=0\to\boxed{y=8}\checkmark$

OBS: Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, a raiz $8$ é chamada de raiz dupla, embora o gráfico toque no eixo das abscissas apenas uma vez.

0837

Resolva, em $\mathbb{R}$, a equação: $4x^2-4x+1=0$

0837 - Resposta

$x=\dfrac{1}{2}$

0837 - Solução

Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara), entretanto, uma observação mais atenta nota-se que esse trinômio do segundo grau é o desenvolvimento de um produto notável do tipo $(ax-b)^2$, tornando a resolução mais simples; assim:

$4x^2-4x+1=0\to (2x-1)^2=0\to 2x-1=0\to\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\checkmark$

OBS: Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, a raiz $\dfrac{1}{2}$ é chamada de raiz dupla, embora o gráfico toque no eixo das abscissas apenas uma vez.

0836

(UCS-RS) A relação entre a quantidade em oferta de determinado produto e o seu preço, quando este for $x$ reais por unidade, é dada pela equação $q=x^2+3x-70$. Já a procura por esse produto (quantidade que os consumidores estão dispostos a comprar), quando o preço for $x$ reais, é dada pela equação $d=410-x$.

O equilíbrio no mercado ocorre quando $q$ e $d$ são iguais. Sendo $x_{0}$ o preço e $y_{0}$ a quantidade quando ocorre o equilíbrio, obtenha o valor da expressão $y_{0}-x_{0}$.

0836 - Resposta

$y_{0}-x_{0}=370$

0836 - Solução

Algumas considerações:

1ª) Para $q=d$, teremos uma equação do segundo grau que será resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara):

$x^2+3x-70=410-x\to x^2+4x-480=0\Rrightarrow\quad$ Bhaskara

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times 1\times(-480)}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{1936}}{2}\to x=\dfrac{-4\pm 44}{2}\to\boxed{x_{0}=20}\checkmark$

Obs: Apenas o valor positivo de $x$ foi considerado, pois trata-se de valor(em reais) por unidade.

2ª) Além disso, no equilíbrio, teremos:

$q=d=y_{0}=410-x_{0}\to y_{0}=410-20\to\boxed{y_{0}=390}\checkmark$

Finalmente, encontraremos o valor da expressão:

$y_{0}-x_{0}=390-20=370$ (resposta final)

0835

(Ufam) Sendo $(x+y)^2-(x-y)^2=30$, obtenha $2xy$.

0835 - Resposta

$2xy=15$

0835 - Solução

Vamos desenvolver os produtos notáveis:

$x^2+2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2)=30\to$

$\cancel{x^2}+2xy+\cancel{y^2}-\cancel{x^2}+2xy-\cancel{y^2}=30\to$

$4xy=30\to\boxed{2xy=15}\checkmark$

0834

(Uerj) Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de passageiros no vagão corresponde a 120. Determine o valor de n.

0834 - Resposta

$n=125$ pessoas

0834 - Solução

Como $n$ corresponde ao número de passageiros inicialmente no trem e na primeira estação desembarcaram 20% dos passageiros, podemos representar os passageiros que seguiram a viagem como $(100\%-20\%)\cdot n=(80\%)\cdot n$.

Já na segunda parada entraram 20% da quantidade de passageiros que havia no trem, isto é: $(100\%+20\%)$ de $(80\%)$ de $n$.

Esse número é igual a 120 passageiros que restaram no trem. Em símbolos:

$1,2\cdot 0,8\cdot n=120\to 0,96\cdot n=120\to n=\dfrac{120}{0,96}\to \boxed{n=125}\checkmark$

Portanto $n$ corresponde a $125$ pessoas.

0833

Um carro movido a gasolina faz $12$ km por litro. Sabe-se que o preço do litro de álcool é fixado pelo governo como sendo $75\%$ do preço do litro de gasolina. Um carro a álcool passa a ser mais econômico, quando comparado com um carro a gasolina, a partir de um rendimento mínimo de $X$ km por litro. Obtenha o valor mínimo de $X$.

0833 - Resposta

$X=9$

0833 - Solução

Supondo o litro de gasolina custando "$C$", o litro de álcool, custará "$0,75C$". Pelos dados, poderemos obter o rendimento($R$):

$\Rrightarrow$Com a gasolina, teremos o rendimento ($R_{G}$):

$R_{G}=\dfrac{12km}{1L}=\dfrac{12km}{C}$

$\Rrightarrow$Com o álcool, teremos o rendimento ($R_{A}$):

$R_{A}=\dfrac{X\,km}{1L}=\dfrac{X\,km}{0,75C}$

Haverá vantagem, quando $R_{A}\geqslant R_{G}$, isto é:

$\dfrac{X\,\cancel{km}}{0,75\cancel{C}}\geqslant \dfrac{12\cancel{km}}{\cancel{C}}\to\dfrac{x\geqslant 12\cdot 0,75}{\cancel{0,75C}}\to\boxed{x\geqslant 9}$

Portanto, a partir de um rendimento mínimo de $9$km port litro (resposta final).

0832

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$x^2-2x+2>0$

0832 - Resposta

$S=\{x\in\mathbb{R}\}$

0832 - Solução

Observe o gráfico da função $y=x^2-2x+2$

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}}$

0831

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$x^2-x+10<16$

0831 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2<x<3\right\}$

0831 - Solução

Vamos analisar a inequação:

$x^2-x+10<16\to x^2-x-6<0$

Observe o gráfico da função $y=x^2-x-6$

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2<x<3\right\}}$

0830

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}>0$

0830 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,0<x<1\right\}$

0830 - Solução

Analisando a inequação, teremos:

$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}>0\to y=\dfrac{1}{x(1-x)}>0\quad$ ou

$y=\dfrac{1}{x-x^2}>0$, para $x\neq 0$ e $x\neq 1$

Vamos observar o gráfico da função $y=\dfrac{1}{x-x^2}$, para $x\neq 0$ e $x\neq 1$

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,0<x<1\right\}}$

0829

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$\dfrac{x-1}{x+1}>0$

0829 - Resposta

$S=x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,x>1$

0829 - Solução

Observe o gráfico da função:

$y=\dfrac{x-1}{x+1}$, para $x\neq -1$

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,x>1}$

0828

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$(x+1)(x-2)^3(x-7)(x^2+ 7)\geqslant 0$

0828 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 7\right\}$

0828 - Solução

Observe o quadro de sinais:

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 7\right\}}$

0827

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$(x+1)(3-x)(x-2)^2\geqslant 0$

0827 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 3\right\}$

0827 - Solução

Observe o quadro de sinais:

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 3\right\}}$

0826

Resolva, em $\mathbb{R}$, a seguinte inequação:

$(x+1)(3-x)(x-2)^2\leqslant 0$

0826 - Resposta

$S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -1\,\,\text{ou}\,\,x=2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}$

0826 - Solução

Observe o quadro de sinais:

Portanto, a solução$(S)$, será: $\boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -1\,\,\text{ou}\,\,x=2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}}$