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0850
Resolva, em R \mathbb{R} R , a inequação simultânea 3 < x 2 − 2 x + 8 < 8 3<x^2-2x+8<8 3 < x 2 − 2 x + 8 < 8
0850 - Resposta
S = { x ∈ R ∣ 0 < x < 2 } S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\} S = { x ∈ R ∣ 0 < x < 2 }
0850 - Solução
⇛ \Rrightarrow ⇛ Estratégia de Resolução :
1 .Nomear as inequações como ( I ) (I) ( I ) e ( I I ) (II) ( II )
2 .Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções S I S_{I} S I e S I I S_{II} S II
3 .Obter a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II
⇛ \Rrightarrow ⇛ Resolução :
1. Nomeando
3 < x 2 − 2 x + 8 ⏟ ( I ) < 8 → x 2 − 2 x + 8 > 3 ( I ) \underbrace{3<x^2-2x+8}_{(I)}<8\to x^2-2x+8>3\,\,(I) ( I ) 3 < x 2 − 2 x + 8 < 8 → x 2 − 2 x + 8 > 3 ( I )
3 < x 2 − 2 x + 8 < 8 ⏟ ( I I ) → x 2 − 2 x + 8 < 8 ( I I ) 3<\underbrace{x^2-2x+8<8}_{(II)}\to x^2-2x+8<8\,\,(II) 3 < ( II ) x 2 − 2 x + 8 < 8 → x 2 − 2 x + 8 < 8 ( II )
2. Resolvendo
2a. Resolvendo ( I ) (I) ( I ) , isto é: x 2 − 2 x + 8 > 3 → x 2 − 2 x + 5 > 0 x^2-2x+8>3\to x^2-2x+5>0 x 2 − 2 x + 8 > 3 → x 2 − 2 x + 5 > 0
Vamos resolver a equação x 2 − 2 x + 5 = 0 → … x^2-2x+5=0\to\ldots x 2 − 2 x + 5 = 0 → … Fórmula Quadrática … → ∄ x ∈ R \ldots\to \nexists x\in\mathbb{R} … → ∄ x ∈ R
O gráfico da função y = x 2 − 5 x + 5 y=x^2-5x+5 y = x 2 − 5 x + 5 é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, como não há raízes reais, qualquer valor de "x x x " adotado como domínio, resultará uma imagem positiva.
Portanto, x 2 − 2 x + 5 > 0 → ∀ x ∈ R x^2-2x+5>0\to\forall x\in\mathbb{R} x 2 − 2 x + 5 > 0 → ∀ x ∈ R , sendo esta a solução final( S I ) (S_{I}) ( S I ) :
S I = { x ∈ R } ✓ S_{I}=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}\checkmark S I = { x ∈ R } ✓
2b. Resolvendo ( I I ) (II) ( II ) , isto é: x 2 − 2 x + 8 < 8 → x 2 − 2 x < 0 x^2-2x+8<8\to x^2-2x<0 x 2 − 2 x + 8 < 8 → x 2 − 2 x < 0
Vamos resolver a equação x 2 − 2 x = 0 → x ( x − 2 ) = 0 → x 1 = 0 x^2-2x=0\to x(x-2)=0\to x_{1}=0 x 2 − 2 x = 0 → x ( x − 2 ) = 0 → x 1 = 0 ou x 2 = 2 x_{2}=2 x 2 = 2
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I I = { x ∈ R ∣ 0 < x < 2 } ✓ S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}\checkmark S II = { x ∈ R ∣ 0 < x < 2 } ✓
3. Obtendo a solução final( S ) (S) ( S ) como S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II :
Portanto: S = { x ∈ R ∣ 0 < x < 2 } ✓ S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,0<x<2\}\checkmark S = { x ∈ R ∣ 0 < x < 2 } ✓
0849
Resolva, em R \mathbb{R} R , a inequação simultânea 2 ⩽ x 2 − x ⩽ 20 − 2 x 2\leqslant x^2-x\leqslant 20-2x 2 ⩽ x 2 − x ⩽ 20 − 2 x
0849 - Resposta
S = { − 5 ⩽ x ⩽ − 1 ou 2 ⩽ x ⩽ 4 } S=\{-5\leqslant x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,2\leqslant x\leqslant 4\} S = { − 5 ⩽ x ⩽ − 1 ou 2 ⩽ x ⩽ 4 }
0849 - Solução
⇛ \Rrightarrow ⇛ Estratégia de Resolução :
1 .Nomear as inequações como ( I ) (I) ( I ) e ( I I ) (II) ( II )
2 .Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções S I S_{I} S I e S I I S_{II} S II
3 .Obter a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II
⇛ \Rrightarrow ⇛ Resolução :
1. Nomeando
2 ⩽ x 2 − x ⏟ ( I ) ⩽ 20 − 2 x → x 2 − x − 2 ⩾ 0 ( I ) \underbrace{2\leqslant x^2-x}_{(I)}\leqslant 20-2x\to x^2-x-2\geqslant 0\,\,(I) ( I ) 2 ⩽ x 2 − x ⩽ 20 − 2 x → x 2 − x − 2 ⩾ 0 ( I )
2 ⩽ x 2 − x ⩽ 20 − 2 x ⏟ ( I I ) → x 2 + x − 20 ⩽ 0 ( I I ) 2\leqslant\underbrace{x^2-x\leqslant 20-2x}_{(II)}\to x^2+x-20\leqslant 0\,\,(II) 2 ⩽ ( II ) x 2 − x ⩽ 20 − 2 x → x 2 + x − 20 ⩽ 0 ( II )
2a. Resolvendo ( I ) (I) ( I )
( I ) → x 2 − x ⩾ 2 → x 2 − x − 2 ⩾ 0 → x 2 − x − 2 = 0 (I)\to x^2-x\geqslant 2\to x^2-x-2\geqslant 0\to x^2-x-2=0 ( I ) → x 2 − x ⩾ 2 → x 2 − x − 2 ⩾ 0 → x 2 − x − 2 = 0 Fórmula Quadrática → \to →
x = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a → x = − ( − 1 ) ± ( − 1 ) 2 − 4 × 1 × ( − 2 ) 2 × 1 → x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\times 1\times (-2)}}{2\times 1}\to x = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c → x = 2 × 1 − ( − 1 ) ± ( − 1 ) 2 − 4 × 1 × ( − 2 ) →
x = 1 ± 3 2 → x 1 = − 1 x=\dfrac{1\pm 3}{2}\to x_{1}=-1 x = 2 1 ± 3 → x 1 = − 1 ou x 2 = 2 x_{2}=2 x 2 = 2
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I = { x ∈ R ∣ x ⩽ − 1 ou x ⩾ 2 } ✓ S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 2\}\checkmark S I = { x ∈ R ∣ x ⩽ − 1 ou x ⩾ 2 } ✓
2b. Resolvendo ( I I ) (II) ( II )
x 2 + x − 20 ⩽ 0 → x 2 + x − 20 = 0 x^2+x-20\leqslant 0\to x^2+x-20=0 x 2 + x − 20 ⩽ 0 → x 2 + x − 20 = 0 Fórmula Quadrática → \to →
x = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a → x = − 1 ± 1 2 − 4 × 1 × ( − 20 ) 2 × 1 → x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times (-20)}}{2\times 1}\to x = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c → x = 2 × 1 − 1 ± 1 2 − 4 × 1 × ( − 20 ) →
x = − 1 ± 9 2 → x 1 = − 5 x=\dfrac{-1\pm 9}{2}\to x_{1}=-5 x = 2 − 1 ± 9 → x 1 = − 5 ou x 2 = 4 x_{2}=4 x 2 = 4
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I I = { x ∈ R ∣ − 5 ⩽ x ⩽ 4 } S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-5\leqslant x\leqslant 4\} S II = { x ∈ R ∣ − 5 ⩽ x ⩽ 4 }
3. Obtendo a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II :
Portanto: S = { − 5 ⩽ x ⩽ − 1 ou 2 ⩽ x ⩽ 4 } ✓ S=\{-5\leqslant x\leqslant-1\,\,\text{ou}\,\,2\leqslant x\leqslant 4\}\checkmark S = { − 5 ⩽ x ⩽ − 1 ou 2 ⩽ x ⩽ 4 } ✓
0848
Resolva, em R \mathbb{R} R , a inequação simultânea 7 ⩽ x 2 + 3 < 4 x 7\leqslant x^2+3<4x 7 ⩽ x 2 + 3 < 4 x
0848 - Resposta
S = { x ∈ R ∣ 2 ⩽ x < 3 } S=\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,2\leqslant x<3\} S = { x ∈ R ∣ 2 ⩽ x < 3 }
0848 - Solução
⇛ \Rrightarrow ⇛ Estratégia de Resolução :
1 .Nomear as inequações como ( I ) (I) ( I ) e ( I I ) (II) ( II )
2 .Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções S I S_{I} S I e S I I S_{II} S II
3 .Obter a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II
⇛ \Rrightarrow ⇛ Resolução :
1. Nomeando
7 ⩽ x 2 + 3 ⏟ ( I ) < 4 x → x 2 − 4 ⩾ 0 ( I ) \underbrace{7\leqslant x^2+3}_{(I)}<4x\to x^2-4\geqslant 0\,\,(I) ( I ) 7 ⩽ x 2 + 3 < 4 x → x 2 − 4 ⩾ 0 ( I )
7 ⩽ x 2 + 3 < 4 x ⏟ ( I I ) → x 2 − 4 x + 3 < 0 ( I I ) 7\leqslant\underbrace{x^2+3<4x}_{(II)}\to x^2-4x+3<0\,\,(II) 7 ⩽ ( II ) x 2 + 3 < 4 x → x 2 − 4 x + 3 < 0 ( II )
2a. Resolvendo ( I ) (I) ( I )
x 2 − 4 ⩾ 0 → x 2 − 4 = 0 → x 1 = − 2 x 2 = 2 x^2-4\geqslant0\to x^2-4=0\to x_{1}=-2\,\,x_{2}=2 x 2 − 4 ⩾ 0 → x 2 − 4 = 0 → x 1 = − 2 x 2 = 2
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I = { x ∈ R ∣ x ⩽ − 2 ou x ⩾ 2 } ✓ S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant -2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 2\}\checkmark S I = { x ∈ R ∣ x ⩽ − 2 ou x ⩾ 2 } ✓
2b. Resolvendo ( I I ) (II) ( II )
( I I ) → x 2 + 3 < 4 x → x 2 − 4 x + 3 < 0 → x 2 − 4 x + 3 = 0 → (II)\to x^2+3<4x\to x^2-4x+3<0\to x^2-4x+3=0\to ( II ) → x 2 + 3 < 4 x → x 2 − 4 x + 3 < 0 → x 2 − 4 x + 3 = 0 → Fórmula Quadrática → \to →
x = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a → x = − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 × 1 × 3 2 × 1 → x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times 3}}{2\times 1}\to x = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c → x = 2 × 1 − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 × 1 × 3 →
x = 4 ± 2 2 → x 1 = 1 x=\dfrac{4\pm 2}{2}\to x_{1}=1 x = 2 4 ± 2 → x 1 = 1 ou x 2 = 3 x_{2}=3 x 2 = 3
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
A área hachurada indica o intervalo positivo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I I = { x ∈ R ∣ 1 < x < 3 } ✓ S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,1<x<3\}\checkmark S II = { x ∈ R ∣ 1 < x < 3 } ✓
3. Obtendo a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II :
Portanto: S { x ∈ R ∣ 2 ⩽ x < 3 } S\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,2\leqslant x<3\} S { x ∈ R ∣ 2 ⩽ x < 3 }
0847
Resolva, em R \mathbb{R} R , a inequação simultânea − 6 < x 2 − 5 x < 6 -6<x^2-5x<6 − 6 < x 2 − 5 x < 6
0847 - Resposta
S = { x ∈ R ∣ − 1 < x < 2 ou 3 < x < 6 } S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<2\,\,\text{ou}\,\,3<x<6\} S = { x ∈ R ∣ − 1 < x < 2 ou 3 < x < 6 }
0847 - Solução
⇛ \Rrightarrow ⇛ Estratégia de Resolução :
1 .Nomear as inequações como ( I ) (I) ( I ) e ( I I ) (II) ( II )
2 .Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções S I S_{I} S I e S I I S_{II} S II
3 .Obter a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II
⇛ \Rrightarrow ⇛ Resolução :
1. Nomeando
− 6 < x 2 − 5 x ⏟ ( I ) < 6 → x 2 − 5 x + 6 > 0 ( I ) \underbrace{-6<x^2-5x}_{(I)}<6\to x^2-5x+6>0\,\,(I) ( I ) − 6 < x 2 − 5 x < 6 → x 2 − 5 x + 6 > 0 ( I )
− 6 < x 2 − 5 x < 6 ⏟ ( I I ) → x 2 − 5 x − 6 < 0 ( I I ) -6<\underbrace{x^2-5x<6}_{(II)}\to x^2-5x-6<0\,\,(II) − 6 < ( II ) x 2 − 5 x < 6 → x 2 − 5 x − 6 < 0 ( II )
2a. Resolvendo ( I ) (I) ( I )
x 2 − 5 x + 6 > 0 → x 2 − 5 x + 6 = 0 → x^2-5x+6>0\to x^2-5x+6=0\to x 2 − 5 x + 6 > 0 → x 2 − 5 x + 6 = 0 → Fórmula Quadrática → \to →
( I ) → x 2 − 5 x + 6 > 0 → x 2 − 5 x + 6 = 0 → (I)\to x^2-5x+6>0\to x^2-5x+6=0\to ( I ) → x 2 − 5 x + 6 > 0 → x 2 − 5 x + 6 = 0 → Fórmula Quadrática → \to →
x = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a → x = − ( − 5 ) ± ( − 5 ) 2 − 4 × 1 × 6 2 × 1 → x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times 6}}{2\times 1}\to x = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c → x = 2 × 1 − ( − 5 ) ± ( − 5 ) 2 − 4 × 1 × 6 →
x = 5 ± 1 2 → x 1 = 2 x=\dfrac{5\pm 1}{2}\to x_{1}=2 x = 2 5 ± 1 → x 1 = 2 ou x 2 = 3 x_{2}=3 x 2 = 3
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
As áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I = { x ∈ R ∣ x < 2 ou x > 3 } S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<2\,\,\text{ou}\,\,x>3\} S I = { x ∈ R ∣ x < 2 ou x > 3 }
2b. Resolvendo ( I I ) (II) ( II )
( I I ) → x 2 − 5 x − 6 < 0 → x 2 − 5 x − 6 = 0 → (II)\to x^2-5x-6<0\to x^2-5x-6=0\to ( II ) → x 2 − 5 x − 6 < 0 → x 2 − 5 x − 6 = 0 → Fórmula Quadrática → \to →
x = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a → x = − ( − 5 ) ± ( − 5 ) 2 − 4 × 1 × ( − 6 ) 2 × 1 → x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to x=\dfrac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^2-4\times 1\times(-6)}}{2\times 1}\to x = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c → x = 2 × 1 − ( − 5 ) ± ( − 5 ) 2 − 4 × 1 × ( − 6 ) →
x = 5 ± 7 2 → x 1 = − 1 x=\dfrac{5\pm 7}{2}\to x_{1}=-1 x = 2 5 ± 7 → x 1 = − 1 ou x 2 = 6 x_{2}=6 x 2 = 6
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I I = { x ∈ R ∣ − 1 < x < 6 } S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<6\} S II = { x ∈ R ∣ − 1 < x < 6 }
3. Obtendo a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II :
Portanto: S = { x ∈ R ∣ − 1 < x < 2 ou 3 < x < 6 } S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1<x<2\,\,\text{ou}\,\,3<x<6\} S = { x ∈ R ∣ − 1 < x < 2 ou 3 < x < 6 }
0846
Resolva, em R \mathbb{R} R , o sistema de inequações
{ x 2 − 1 ⩽ 0 x 2 − 2 x > 0 \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x^2&-&1&\leqslant&0&\\
x^2&-&2x&>&0&
\end{array}\right. { x 2 x 2 − − 1 2 x ⩽ > 0 0
0846 - Resposta
S = { x ∈ R ∣ − 1 ⩽ x < 0 } S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x < 0\right\} S = { x ∈ R ∣ − 1 ⩽ x < 0 }
0846 - Solução
⇛ \Rrightarrow ⇛ Estratégia de Resolução :
1 .Nomear as inequações como ( I ) (I) ( I ) e ( I I ) (II) ( II )
2 .Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções S I S_{I} S I e S I I S_{II} S II
3 .Obter a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II
⇛ \Rrightarrow ⇛ Resolução :
1. Nomeando
{ x 2 − 1 ⩽ 0 ( I ) x 2 − 2 x > 0 ( I I ) \left\{\begin{array}{rcrcrr}
x^2&-&1&\leqslant&0&(I)\\
x^2&-&2x&>&0&(II)
\end{array}\right. { x 2 x 2 − − 1 2 x ⩽ > 0 0 ( I ) ( II )
2a. Resolvendo ( I ) (I) ( I )
x 2 − 1 ⩽ 0 → x 2 − 1 = 0 → x = ± 1 x^2-1\leqslant0\to x^2-1=0\to x=\pm 1 x 2 − 1 ⩽ 0 → x 2 − 1 = 0 → x = ± 1
Duas raízes encontradas: x = − 1 x=-1\quad x = − 1 ou x = 1 \quad x=1 x = 1
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
A área hachurada indica o intervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I = { x ∈ R ∣ − 1 ⩽ x ⩽ 1 } S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x\leqslant 1\} S I = { x ∈ R ∣ − 1 ⩽ x ⩽ 1 }
2b. Resolvendo ( I I ) (II) ( II )
x 2 − 2 x > 0 → x 2 − 2 x = 0 → x^2-2x>0\to x^2-2x=0\to x 2 − 2 x > 0 → x 2 − 2 x = 0 →
x ( x − 2 ) = 0 → x = 0 , x = 2 → x(x-2)=0\to x=0,\,x=2\to x ( x − 2 ) = 0 → x = 0 , x = 2 →
Duas raízes encontradas: x = 0 x=0\quad x = 0 ou x = 1 \quad x=1 x = 1
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
As duas áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I = { x ∈ R ∣ x < 0 ou x > 2 } S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<0\,\,\text{ou}\,\,x>2\} S I = { x ∈ R ∣ x < 0 ou x > 2 }
3. Obtendo a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II :
Portanto: S = { x ∈ R ∣ − 1 ⩽ x < 0 } ✓ \boldsymbol{S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,-1\leqslant x < 0\}\,\checkmark} S = { x ∈ R ∣ − 1 ⩽ x < 0 } ✓
0845
Resolva, em R \mathbb{R} R , o sistema de inequações
{ x 2 + 6 x + 8 ⩾ 0 x + 5 < 0 \left\{\begin{array}{rcrcrcrr}
x^2&+&6x&+&8&\geqslant&0&\\
&&x&+&5&<&0&
\end{array}\right. { x 2 + 6 x x + + 8 5 ⩾ < 0 0
0845 - Resposta
S = { x ∈ R ∣ x < − 5 } S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\right\} S = { x ∈ R ∣ x < − 5 }
0845 - Solução
⇛ \Rrightarrow ⇛ Estratégia de Resolução :
1 .Nomear as inequações como ( I ) (I) ( I ) e ( I I ) (II) ( II )
2 .Resolvê-las separadamente, obtendo as respectivas soluções S I S_{I} S I e S I I S_{II} S II
3 .Obter a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II
⇛ \Rrightarrow ⇛ Resolução :
1. Nomeando
{ x 2 + 6 x + 8 ⩾ 0 ( I ) x + 5 < 0 ( I I ) \left\{\begin{array}{rcrcrcrr}
x^2&+&6x&+&8&\geqslant&0&(I)\\
&&x&+&5&<&0&(II)
\end{array}\right. { x 2 + 6 x x + + 8 5 ⩾ < 0 0 ( I ) ( II )
2a. Resolvendo ( I ) (I) ( I )
x 2 + 6 x + 8 = 0 → … x^2+6x+8=0\to\ldots x 2 + 6 x + 8 = 0 → … Fórmula Quadrática… \ldots …
x = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a} x = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c , para a = 1 a=1\,\, a = 1 b = 6 b=6\,\, b = 6 c = 8 c=8 c = 8 :
x = − 6 ± 6 2 − 4 × 1 × 8 2 × 1 → x = − 6 ± 2 2 → x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^2-4\times 1\times 8}}{2\times 1}\to x=\dfrac{-6\pm 2}{2}\to x = 2 × 1 − 6 ± 6 2 − 4 × 1 × 8 → x = 2 − 6 ± 2 →
Duas raízes: x 1 = − 4 x_{1}=-4\quad x 1 = − 4 e x 2 = − 2 \quad x_{2}=-2 x 2 = − 2
O gráfico dessa função é uma parábola, concavidade para cima( a = 1 > 0 ) (a=1>0) ( a = 1 > 0 ) e, com as duas raízes encontradas, tem esse esboço:
As duas áreas hachuradas indicam os intervalos positivos dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I = { x ∈ R ∣ x ⩽ − 4 ou x ⩾ − 2 } S_{I}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant-4\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant-2\} S I = { x ∈ R ∣ x ⩽ − 4 ou x ⩾ − 2 }
2b. Resolvendo ( I I ) (II) ( II )
x + 5 < 0 → x < − 5 x+5<0\to x<-5 x + 5 < 0 → x < − 5
O gráfico dessa função é uma reta, crescente e, com a raiz encontrada, tem esse esboço:
A área hachurada indica o inervalo negativo dessa função, que será a solução da inequação, isto é:
S I I = { x ∈ R ∣ x < − 5 } S_{II}=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\} S II = { x ∈ R ∣ x < − 5 }
3. Obtendo a solução final( S ) (S) ( S ) da interseção S I ∩ S I I S_{I}\cap S_{II} S I ∩ S II :
Portanto: S = { x ∈ R ∣ x < − 5 } ✓ \boldsymbol{S=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x<-5\}\,\checkmark} S = { x ∈ R ∣ x < − 5 } ✓
0844
Resolva, em R \mathbb{R} R , a inequação modular ∣ 3 x − 5 ∣ ⩾ 4 |3x-5|\geqslant 4 ∣3 x − 5∣ ⩾ 4
0844 - Resposta
S = { x ∈ R ∣ x ⩽ 1 3 ou x ⩾ 3 } S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\} S = { x ∈ R ∣ x ⩽ 3 1 ou x ⩾ 3 }
0844 - Solução
1ª Forma de Resolução :
De acordo com as propriedades de módulo para números reais( k ) (k) ( k ) , k ∈ R k\in\mathbb{R} k ∈ R , temos dois casos possíveis:
∣ x ∣ < k ⟺ − k < x < k |x|<k\quad\Longleftrightarrow\quad-k<x<k ∣ x ∣ < k ⟺ − k < x < k
∣ x ∣ > k ⟺ x < − k ou x > k |x|>k\quad\Longleftrightarrow\quad x<-k\,\,\text{ou}\,\,x>k ∣ x ∣ > k ⟺ x < − k ou x > k
À nossa questão, o segundo caso, com duas possibilidades:
3 x − 5 ⩽ − 4 → 3 x ⩽ 1 → x ⩽ 1 3 ( I ) 3x-5\leqslant-4\to 3x\leqslant 1\to x\leqslant\dfrac{1}{3}\quad(I) 3 x − 5 ⩽ − 4 → 3 x ⩽ 1 → x ⩽ 3 1 ( I )
ou
3 x − 5 ⩾ 4 → 3 x ⩾ 9 → x ⩾ 3 ( I I ) 3x-5\geqslant 4\to3x\geqslant 9\to x\geqslant 3\quad(II) 3 x − 5 ⩾ 4 → 3 x ⩾ 9 → x ⩾ 3 ( II )
Como solução( S ) (S) ( S ) final, devemos ter ( I ) ∪ ( I I ) (I)\cup (II) ( I ) ∪ ( II ) :
S = { x ∈ R ∣ x ⩽ 1 3 ou x ⩾ 3 } S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\} S = { x ∈ R ∣ x ⩽ 3 1 ou x ⩾ 3 }
2ª Forma de Resolução :
De acordo com a definição de Módulo:
∣ x ∣ = { x , se x ⩾ 0 − x , se x < 0 |x|=\left\{\begin{array}{rcrr}x,&\text{se}&x\geqslant 0\\-x,&\text{se}& x<0\end{array}\right. ∣ x ∣ = { x , − x , se se x ⩾ 0 x < 0
Então:
∣ 3 x − 5 ∣ = { 3 x − 5 , se 3 x − 5 ⩾ 0 → x ⩾ 5 3 ( I ) − 3 x + 5 , se 3 x − 5 < 0 → x < 5 3 ( I I ) |3x-5|=\left\{\begin{array}{rcrl}3x-5,&\text{se}&3x-5\geqslant 0\to&x\geqslant\dfrac{5}{3}\quad(I)\\\\-3x+5,&\text{se}& 3x-5<0\to&x<\dfrac{5}{3}\,\,(II)\end{array}\right. ∣3 x − 5∣ = ⎩ ⎨ ⎧ 3 x − 5 , − 3 x + 5 , se se 3 x − 5 ⩾ 0 → 3 x − 5 < 0 → x ⩾ 3 5 ( I ) x < 3 5 ( II )
Analisando as duas possibilidades:
( I ) (I) ( I ) Para x ⩾ 5 3 → 3 x − 5 ⩾ 4 → 3 x ⩾ 9 → x ⩾ 3 ✓ Final ( I ) x\geqslant\dfrac{5}{3}\to 3x-5\geqslant4\to 3x\geqslant9\to\boxed{x\geqslant 3}\,\,\checkmark\quad\text{Final}\,\,(I) x ⩾ 3 5 → 3 x − 5 ⩾ 4 → 3 x ⩾ 9 → x ⩾ 3 ✓ Final ( I )
( I I ) (II) ( II ) Para x < 5 3 ⏟ 1 ◯ → − 3 x + 5 ⩾ 4 → − 3 x ⩾ − 1 → x ⩽ 1 3 ⏟ 2 ◯ → \underbrace{x<\dfrac{5}{3}}_{\text{\textcircled 1}}\to -3x+5\geqslant4\to -3x\geqslant-1\to\underbrace{x\leqslant\dfrac{1}{3}}_{\text{\textcircled 2}}\to 1 ◯ x < 3 5 → − 3 x + 5 ⩾ 4 → − 3 x ⩾ − 1 → 2 ◯ x ⩽ 3 1 →
1 ◯ ∩ 2 ◯ ⇒ x ⩽ 1 3 ✓ Final ( I I ) \quad\quad\quad\text{\textcircled 1}\,\cap\text{\textcircled 2}\Rightarrow \boxed{x\leqslant\dfrac{1}{3}}\,\,\checkmark\quad\text{Final}\,\,(II) 1 ◯ ∩ 2 ◯ ⇒ x ⩽ 3 1 ✓ Final ( II )
Como solução( S ) (S) ( S ) final, devemos ter ( I ) ∪ ( I I ) (I)\cup (II) ( I ) ∪ ( II ) :
S = { x ∈ R ∣ x ⩽ 1 3 ou x ⩾ 3 } S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x\leqslant\dfrac{1}{3}\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\} S = { x ∈ R ∣ x ⩽ 3 1 ou x ⩾ 3 }
0843
Simplifique as expressões:
a) n ! ( n − 1 ) ! \quad\dfrac{n!}{(n-1)!}\quad ( n − 1 )! n ! b) ( n + 4 ) ! ( n + 2 ) ! + ( n + 3 ) ! \quad\dfrac{(n+4)!}{(n+2)!+(n+3)!}\quad ( n + 2 )! + ( n + 3 )! ( n + 4 )! c) ( n − 1 ) ! + n ! ( n + 1 ) ! \quad\dfrac{(n-1)!+n!}{(n+1)!} ( n + 1 )! ( n − 1 )! + n !
Fatorial(n ! n! n ! )
Por definição, a operação de fatorial(! ! ! ) somente é possível quando utilizamos números naturais. Em símbolos:
Para n ∈ N \boldsymbol{n\in\mathbb{N}} n ∈ N , define-se n ! = n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n − 3 ) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \quad\boldsymbol{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1} n ! = n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n − 3 ) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
0843 - Respostas
a) n \boldsymbol{n}\quad n b) n + 3 \boldsymbol{n+3}\quad n + 3 c) 1 n \boldsymbol{\dfrac{1}{n}} n 1
0843 - Soluções
a) n ! ( n − 1 ) ! = n ( n − 1 ! ) ( n − 1 ) ! = n ✓ \dfrac{n!}{(n-1)!}=\dfrac{n(\cancel{n-1!})}{\cancel{(n-1)!}}=\boldsymbol{n}\,\,\checkmark ( n − 1 )! n ! = ( n − 1 )! n ( n − 1 ! ) = n ✓
b) ( n + 4 ) ! ( n + 2 ) ! + ( n + 3 ) ! = ( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2 ) ! ( n + 2 ! ) + [ ( n + 3 ) ( n + 2 ) ! ] = \dfrac{(n+4)!}{(n+2)!+(n+3)!}=\dfrac{(n+4)(n+3)(n+2)!}{(n+2!)+[(n+3)(n+2)!]}= ( n + 2 )! + ( n + 3 )! ( n + 4 )! = ( n + 2 !) + [( n + 3 ) ( n + 2 )!] ( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2 )! =
( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2 ) ! ( n + 2 ) ! [ 1 + n + 3 ] = ( n + 4 ) ( n + 3 ) n + 4 = n + 3 ✓ \dfrac{(n+4)(n+3)\cancel{(n+2)!}}{\cancel{(n+2)!}[1+n+3]}=\dfrac{\cancel{(n+4)}(n+3)}{\cancel{n+4}}=\boldsymbol{n+3}\,\,\checkmark ( n + 2 )! [ 1 + n + 3 ] ( n + 4 ) ( n + 3 ) ( n + 2 )! = n + 4 ( n + 4 ) ( n + 3 ) = n + 3 ✓
c) ( n − 1 ) ! + n ! ( n + 1 ) ! = ( n − 1 ) ! + n ( n − 1 ) ! ( n + 1 ) ⋅ n ⋅ ( n − 1 ) ! = \dfrac{(n-1)!+n!}{(n+1)!}=\dfrac{(n-1)!+n(n-1)!}{(n+1)\cdot n\cdot(n-1)!}= ( n + 1 )! ( n − 1 )! + n ! = ( n + 1 ) ⋅ n ⋅ ( n − 1 )! ( n − 1 )! + n ( n − 1 )! =
( n − 1 ) ! ⋅ ( 1 + n ) ( n − 1 ) ! ⋅ n ⋅ ( n + 1 ) = 1 n ✓ \dfrac{\cancel{(n-1)!}\cdot\cancel{(1+n)}}{\cancel{(n-1)!}\cdot n\cdot\cancel{(n+1)}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{n}}\,\,\checkmark ( n − 1 )! ⋅ n ⋅ ( n + 1 ) ( n − 1 )! ⋅ ( 1 + n ) = n 1 ✓
0842
Resolva as equações:
a) ( n + 1 ) ! ( n − 1 ) ! = 12 \quad\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12\quad ( n − 1 )! ( n + 1 )! = 12 b) ( n + 10 ) ! ( n + 8 ) ! = 30 \quad\dfrac{(n+10)!}{(n+8)!}=30 ( n + 8 )! ( n + 10 )! = 30
Fatorial(n ! n! n ! )
Por definição, a operação de fatorial(! ! ! ) somente é possível quando utilizamos números naturais. Em símbolos:
Para n ∈ N \boldsymbol{n\in\mathbb{N}} n ∈ N , define-se n ! = n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n − 3 ) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 \quad\boldsymbol{n!=n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot(n-3)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 2\cdot 1} n ! = n ⋅ ( n − 1 ) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ ( n − 3 ) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
0842 - Respostas
a) n = 3 n=3\quad n = 3 b) ∄ n ∈ N \not\exists\,n\in\mathbb{N} ∃ n ∈ N
0842 - Soluções
a) ( n + 1 ) ! ( n − 1 ) ! = 12 → ( n + 1 ) ⋅ n ⋅ ( n − 1 ) ! ( n − 1 ) ! = 12 → \dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}=12\to\dfrac{(n+1)\cdot n\cdot\cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}}=12\to ( n − 1 )! ( n + 1 )! = 12 → ( n − 1 )! ( n + 1 ) ⋅ n ⋅ ( n − 1 )! = 12 →
n ( n + 1 ) − 12 = 0 → n 2 + n − 12 = 0 ⇒ F o ˊ rmula Quadr a ˊ tica n(n+1)-12=0\to\boldsymbol{n^2+n-12=0}\Rightarrow\,\,\text{Fórmula Quadrática} n ( n + 1 ) − 12 = 0 → n 2 + n − 12 = 0 ⇒ F o ˊ rmula Quadr a ˊ tica
n = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a → n = − 1 ± 1 2 − 4 × 1 × ( − 12 ) 2 × 1 → n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to n=\dfrac{-1\pm\sqrt{1^2-4\times 1\times(-12)}}{2\times 1}\to n = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c → n = 2 × 1 − 1 ± 1 2 − 4 × 1 × ( − 12 ) →
n = − 1 ± 49 2 → n = − 1 ± 7 2 → n = − 4 ou n = 3 ✓ n=\dfrac{-1\pm\sqrt{49}}{2}\to n=\dfrac{-1\pm7}{2}\to \cancel{n=-4}\,\,\text{ou}\,\,\boldsymbol{\boxed{n=3}}\,\,\checkmark n = 2 − 1 ± 49 → n = 2 − 1 ± 7 → n = − 4 ou n = 3 ✓
b) ( n + 10 ) ( n + 8 ) ! = 30 → ( n + 10 ) ⋅ ( n + 9 ) ⋅ ( n + 8 ) ! ( n + 8 ) ! = 30 → \dfrac{(n+10)}{(n+8)!}=30\to\dfrac{(n+10)\cdot(n+9)\cdot\cancel{(n+8)!}}{\cancel{(n+8)!}}=30\to ( n + 8 )! ( n + 10 ) = 30 → ( n + 8 )! ( n + 10 ) ⋅ ( n + 9 ) ⋅ ( n + 8 )! = 30 →
( n + 10 ) ⋅ ( n + 9 ) = 30 → n 2 + 19 n + 90 − 30 = 0 → (n+10)\cdot(n+9)=30\to n^2+19n+90-30=0\to ( n + 10 ) ⋅ ( n + 9 ) = 30 → n 2 + 19 n + 90 − 30 = 0 →
n 2 + 19 n + 60 = 0 → F o ˊ rmula Quadr a ˊ tica n^2+19n+60=0\to\text{Fórmula Quadrática} n 2 + 19 n + 60 = 0 → F o ˊ rmula Quadr a ˊ tica
n = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a → n=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}\to n = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c →
n = − 19 ± 19 2 − 4 × 1 × 60 2 × 1 → n=\dfrac{-19\pm\sqrt{19^2-4\times 1\times 60}}{2\times 1}\to n = 2 × 1 − 19 ± 1 9 2 − 4 × 1 × 60 →
n = − 19 ± 121 2 → n=\dfrac{-19\pm\sqrt{121}}{2}\to n = 2 − 19 ± 121 →
n 1 = − 19 − 11 2 → n 1 = − 15 n_1=\dfrac{-19-11}{2}\to \cancel{n_1=-15}\quad n 1 = 2 − 19 − 11 → n 1 = − 15
ou
n 2 = − 19 + 11 2 → n 2 = − 4 n_2=\dfrac{-19+11}{2}\to \cancel{n_2=-4} n 2 = 2 − 19 + 11 → n 2 = − 4
Portanto, ∄ n ∈ N \boldsymbol{\not\exists\,n\in\mathbb{N}} ∃ n ∈ N
0841
Resolvida em R \mathbb{R} R a equação modular ∣ x 2 − 5 2 x − 1 4 ∣ = 5 4 \left|x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}\right|=\dfrac{5}{4} x 2 − 2 5 x − 4 1 = 4 5
0841 - Respostas
x = 5 − 31 4 x=\dfrac{5-\sqrt{31}}{4}\,\, x = 4 5 − 31 ou x = 5 − 21 4 \,\,x=\dfrac{5-\sqrt{21}}{4}\,\, x = 4 5 − 21 ou x = 5 + 21 4 \,\,x=\dfrac{5+\sqrt{21}}{4}\,\, x = 4 5 + 21 ou x = 5 + 31 4 \,\,x=\dfrac{5+\sqrt{31}}{4}\,\, x = 4 5 + 31
0841 - Soluções
Na resolução de equações modulares(nosso caso) da forma
∣ x − a ∣ = k ; a , k ∈ R |x-a|=k;\,a,k\in\mathbb{R} ∣ x − a ∣ = k ; a , k ∈ R
adotamos a seguinte estratégia, com duas possibilidades:
∣ x − a ∣ = k |x-a|=k ∣ x − a ∣ = k
ou
∣ x − a ∣ = − k |x-a|=-k ∣ x − a ∣ = − k
Isto posto, vamos ao exercício:
Primeira Possibilidade:
x 2 − 5 2 x − 1 4 = 5 4 → 4 x 2 − 10 x − 3 2 = 0 → ( B h a s k a r a ) x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\to 4x^2-10x-\dfrac{3}{2}=0\to(Bhaskara) x 2 − 2 5 x − 4 1 = 4 5 → 4 x 2 − 10 x − 2 3 = 0 → ( B ha s ka r a )
x = − ( − 10 ) ± ( − 10 ) 2 − 4 × 4 × ( − 3 2 ) 2 × 4 → x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times 4\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)}}{2\times 4}\to x = 2 × 4 − ( − 10 ) ± ( − 10 ) 2 − 4 × 4 × ( − 2 3 ) →
x = 10 ± 100 + 24 8 → x = 10 ± 2 31 8 → x=\dfrac{10\pm\sqrt{100+24}}{8}\to x=\dfrac{10\pm 2\sqrt{31}}{8}\to x = 8 10 ± 100 + 24 → x = 8 10 ± 2 31 →
x 1 = 5 − 31 4 ou x 2 = 5 + 31 4 ✓ \boldsymbol{\boxed{x_{1}=\dfrac{5-\sqrt{31}}{4}\,\,\text{ou}\,\,x_{2}=\dfrac{5+\sqrt{31}}{4}}\,\,\checkmark} x 1 = 4 5 − 31 ou x 2 = 4 5 + 31 ✓
Segunda Possibilidade:
x 2 − 5 2 x − 1 4 = − 5 4 → 4 x 2 − 10 x + 1 = 0 → ( B h a s k a r a ) x^2-\dfrac{5}{2}x-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{5}{4}\to 4x^2-10x+1=0\to(Bhaskara) x 2 − 2 5 x − 4 1 = − 4 5 → 4 x 2 − 10 x + 1 = 0 → ( B ha s ka r a )
x = − ( − 10 ) ± ( − 10 ) 2 − 4 × 4 × 1 2 × 4 → x=\dfrac{-(-10)\pm\sqrt{(-10)^2-4\times 4\times 1}}{2\times 4}\to x = 2 × 4 − ( − 10 ) ± ( − 10 ) 2 − 4 × 4 × 1 →
x = 1 = ± 100 − 16 8 → x = 10 ± 2 21 8 → x=\dfrac{1=\pm\sqrt{100-16}}{8}\to x=\dfrac{10\pm2\sqrt{21}}{8}\to x = 8 1 = ± 100 − 16 → x = 8 10 ± 2 21 →
x 3 = 5 − 21 4 ou x 4 = 5 + 21 4 ✓ \boldsymbol{\boxed{x_{3}=\dfrac{5-\sqrt{21}}{4}\,\,\text{ou}\,\,x_{4}=\dfrac{5+\sqrt{21}}{4}}\,\,\checkmark} x 3 = 4 5 − 21 ou x 4 = 4 5 + 21 ✓
0840
Resolva a equação 3 x 2 + 4 x + 2 = 0 3x^2+4x+2=0 3 x 2 + 4 x + 2 = 0
0840 - Resposta
x = − 2 − i 2 3 x=\dfrac{-2-i\sqrt{2}}{3} x = 3 − 2 − i 2 ou x = − 2 + i 2 3 x=\dfrac{-2+i\sqrt{2}}{3} x = 3 − 2 + i 2
0840 - Solução
Observe que não foi citado o conjunto universo a ser adotado, assim, devemos tomar o maior conhecido, isto é, U = C \mathbb{U}=\mathbb{C} U = C e seguir a resolução normalmente utilizando a fórmula de Bhaskara :
x = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a → \boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}}\to x = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c →
x = − 4 ± 4 2 − 4 × 3 × 2 2 × 3 → x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times 3\times 2}}{2\times 3}\to x = 2 × 3 − 4 ± 4 2 − 4 × 3 × 2 →
x = − 4 ± 16 − 24 6 → x = − 4 ± − 8 6 x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-24}}{6}\to x=\dfrac{-4\pm\sqrt{-8}}{6} x = 6 − 4 ± 16 − 24 → x = 6 − 4 ± − 8
x = − 4 ± 2 i 2 6 → x = 2 ( − 2 ± i 2 ) 6 → x=\dfrac{-4\pm 2i\sqrt{2}}{6}\to x=\dfrac{\cancel{2}(-2\pm i\sqrt{2})}{\cancel{6}}\to x = 6 − 4 ± 2 i 2 → x = 6 2 ( − 2 ± i 2 ) →
x 1 = − 2 − i 2 3 ✓ \boxed{x_{1}=\dfrac{-2-i\sqrt{2}}{3}}\checkmark x 1 = 3 − 2 − i 2 ✓ ou x 2 = − 2 + i 2 3 ✓ \boxed{x_{2}=\dfrac{-2+i\sqrt{2}}{3}}\checkmark x 2 = 3 − 2 + i 2 ✓
0839
Resolva, em R \mathbb{R} R , a equação: x 2 − 4 x − 12 = 0 x^2-4x-12=0 x 2 − 4 x − 12 = 0
0839 - Resposta
x = − 2 x=-2 x = − 2 ou x = 6 x=6 x = 6
0839 - Solução
Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara ); assim:
x 2 − 4 x − 12 = 0 → a = 1 ; b = − 4 ; c = − 12 x^2-4x-12=0\to a=1;\quad b=-4;\quad c=-12 x 2 − 4 x − 12 = 0 → a = 1 ; b = − 4 ; c = − 12 a serem aplicados em:
x = − b ± b 2 − 4 × a × c 2 × a \boxed{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\times a\times c}}{2\times a}} x = 2 × a − b ± b 2 − 4 × a × c
x = − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 × 1 × ( − 12 ) 2 × 1 → x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times(-12)}}{2\times 1}\to x = 2 × 1 − ( − 4 ) ± ( − 4 ) 2 − 4 × 1 × ( − 12 ) →
x = 4 ± 16 + 48 2 → x = 4 ± 64 2 → x=\dfrac{4\pm\sqrt{16+48}}{2}\to x=\dfrac{4\pm\sqrt{64}}{2}\to x = 2 4 ± 16 + 48 → x = 2 4 ± 64 →
x = 4 ± 8 2 → … x 1 = − 2 ✓ x=\dfrac{4\pm 8}{2}\to\ldots\boxed{x_{1}=-2}\checkmark x = 2 4 ± 8 → … x 1 = − 2 ✓ ou x 2 = 6 ✓ \boxed{x_{2}=6}\checkmark x 2 = 6 ✓
OBS : Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, as raízes − 2 -2 − 2 e 6 6 6 , indicam as ordenadas onde esse gráfico corta o eixo das abscissas; além disso, a curva desse gráfico é voltada para cima, pois a = 1 > 0 a=1>0 a = 1 > 0 .
0838
Resolva, em R \mathbb{R} R , a equação: y 2 − 16 y + 64 = 0 y^2-16y+64=0 y 2 − 16 y + 64 = 0
0838 - Resposta
y = 8 y=8 y = 8
0838 - Solução
Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara ), entretanto, uma observação mais atenta nota-se que esse trinômio do segundo grau é o desenvolvimento de um produto notável do tipo ( a x − b ) 2 (ax-b)^2 ( a x − b ) 2 , tornando a resolução mais simples; assim:
y 2 − 16 y + 64 = 0 → ( y − 8 ) 2 = 0 → y − 8 = 0 → y = 8 ✓ y^2-16y+64=0\to (y-8)^2=0\to y-8=0\to\boxed{y=8}\checkmark y 2 − 16 y + 64 = 0 → ( y − 8 ) 2 = 0 → y − 8 = 0 → y = 8 ✓
OBS : Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, a raiz 8 8 8 é chamada de raiz dupla, embora o gráfico toque no eixo das abscissas apenas uma vez.
0837
Resolva, em R \mathbb{R} R , a equação: 4 x 2 − 4 x + 1 = 0 4x^2-4x+1=0 4 x 2 − 4 x + 1 = 0
0837 - Resposta
x = 1 2 x=\dfrac{1}{2} x = 2 1
0837 - Solução
Essa é uma equação do segundo grau do tipo completa e que pode ser resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara ), entretanto, uma observação mais atenta nota-se que esse trinômio do segundo grau é o desenvolvimento de um produto notável do tipo ( a x − b ) 2 (ax-b)^2 ( a x − b ) 2 , tornando a resolução mais simples; assim:
4 x 2 − 4 x + 1 = 0 → ( 2 x − 1 ) 2 = 0 → 2 x − 1 = 0 → x = 1 2 ✓ 4x^2-4x+1=0\to (2x-1)^2=0\to 2x-1=0\to\boxed{x=\dfrac{1}{2}}\checkmark 4 x 2 − 4 x + 1 = 0 → ( 2 x − 1 ) 2 = 0 → 2 x − 1 = 0 → x = 2 1 ✓
OBS : Por se tratar de uma função do segundo grau, seu gráfico é uma parábola e, no caso, a raiz 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 é chamada de raiz dupla, embora o gráfico toque no eixo das abscissas apenas uma vez.
0836
(UCS-RS) A relação entre a quantidade em oferta de determinado produto e o seu preço, quando este for x x x reais por unidade, é dada pela equação q = x 2 + 3 x − 70 q=x^2+3x-70 q = x 2 + 3 x − 70 . Já a procura por esse produto (quantidade que os consumidores estão dispostos a comprar), quando o preço for x x x reais, é dada pela equação d = 410 − x d=410-x d = 410 − x .
O equilíbrio no mercado ocorre quando q q q e d d d são iguais. Sendo x 0 x_{0} x 0 o preço e y 0 y_{0} y 0 a quantidade quando ocorre o equilíbrio, obtenha o valor da expressão y 0 − x 0 y_{0}-x_{0} y 0 − x 0 .
0836 - Resposta
y 0 − x 0 = 370 y_{0}-x_{0}=370 y 0 − x 0 = 370
0836 - Solução
Algumas considerações:
1ª) Para q = d q=d q = d , teremos uma equação do segundo grau que será resolvida através da fórmula quadrática(Bhaskara ):
x 2 + 3 x − 70 = 410 − x → x 2 + 4 x − 480 = 0 ⇛ x^2+3x-70=410-x\to x^2+4x-480=0\Rrightarrow\quad x 2 + 3 x − 70 = 410 − x → x 2 + 4 x − 480 = 0 ⇛ Bhaskara
x = − 4 ± 4 2 − 4 × 1 × ( − 480 ) 2 × 1 → x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\times 1\times(-480)}}{2\times 1}\to x = 2 × 1 − 4 ± 4 2 − 4 × 1 × ( − 480 ) →
x = − 4 ± 1936 2 → x = − 4 ± 44 2 → x 0 = 20 ✓ x=\dfrac{-4\pm\sqrt{1936}}{2}\to x=\dfrac{-4\pm 44}{2}\to\boxed{x_{0}=20}\checkmark x = 2 − 4 ± 1936 → x = 2 − 4 ± 44 → x 0 = 20 ✓
Obs: Apenas o valor positivo de x x x foi considerado, pois trata-se de valor(em reais) por unidade .
2ª) Além disso, no equilíbrio, teremos:
q = d = y 0 = 410 − x 0 → y 0 = 410 − 20 → y 0 = 390 ✓ q=d=y_{0}=410-x_{0}\to y_{0}=410-20\to\boxed{y_{0}=390}\checkmark q = d = y 0 = 410 − x 0 → y 0 = 410 − 20 → y 0 = 390 ✓
Finalmente, encontraremos o valor da expressão:
y 0 − x 0 = 390 − 20 = 370 y_{0}-x_{0}=390-20=370 y 0 − x 0 = 390 − 20 = 370 (resposta final)
0835
(Ufam) Sendo ( x + y ) 2 − ( x − y ) 2 = 30 (x+y)^2-(x-y)^2=30 ( x + y ) 2 − ( x − y ) 2 = 30 , obtenha 2 x y 2xy 2 x y .
0835 - Resposta
2 x y = 15 2xy=15 2 x y = 15
0835 - Solução
Vamos desenvolver os produtos notáveis:
x 2 + 2 x y + y 2 − ( x 2 − 2 x y + y 2 ) = 30 → x^2+2xy+y^2-(x^2-2xy+y^2)=30\to x 2 + 2 x y + y 2 − ( x 2 − 2 x y + y 2 ) = 30 →
x 2 + 2 x y + y 2 − x 2 + 2 x y − y 2 = 30 → \cancel{x^2}+2xy+\cancel{y^2}-\cancel{x^2}+2xy-\cancel{y^2}=30\to x 2 + 2 x y + y 2 − x 2 + 2 x y − y 2 = 30 →
4 x y = 30 → 2 x y = 15 ✓ 4xy=30\to\boxed{2xy=15}\checkmark 4 x y = 30 → 2 x y = 15 ✓
0834
(Uerj) Um trem transportava, em um de seus vagões, um número inicial n de passageiros. Ao parar em uma estação, 20% desses passageiros desembarcaram. Em seguida, entraram nesse vagão 20% da quantidade de passageiros que nele permaneceu após o desembarque. Dessa forma, o número final de passageiros no vagão corresponde a 120. Determine o valor de n .
0834 - Resposta
n = 125 n=125 n = 125 pessoas
0834 - Solução
Como n n n corresponde ao número de passageiros inicialmente no trem e na primeira estação desembarcaram 20% dos passageiros, podemos representar os passageiros que seguiram a viagem como ( 100 % − 20 % ) ⋅ n = ( 80 % ) ⋅ n (100\%-20\%)\cdot n=(80\%)\cdot n ( 100% − 20% ) ⋅ n = ( 80% ) ⋅ n .
Já na segunda parada entraram 20% da quantidade de passageiros que havia no trem, isto é: ( 100 % + 20 % ) (100\%+20\%) ( 100% + 20% ) de ( 80 % ) (80\%) ( 80% ) de n n n .
Esse número é igual a 120 passageiros que restaram no trem. Em símbolos:
1 , 2 ⋅ 0 , 8 ⋅ n = 120 → 0 , 96 ⋅ n = 120 → n = 120 0 , 96 → n = 125 ✓ 1,2\cdot 0,8\cdot n=120\to 0,96\cdot n=120\to n=\dfrac{120}{0,96}\to \boxed{n=125}\checkmark 1 , 2 ⋅ 0 , 8 ⋅ n = 120 → 0 , 96 ⋅ n = 120 → n = 0 , 96 120 → n = 125 ✓
Portanto n n n corresponde a 125 125 125 pessoas.
0833
Um carro movido a gasolina faz 12 12 12 km por litro. Sabe-se que o preço do litro de álcool é fixado pelo governo como sendo 75 % 75\% 75% do preço do litro de gasolina. Um carro a álcool passa a ser mais econômico, quando comparado com um carro a gasolina, a partir de um rendimento mínimo de X X X km por litro. Obtenha o valor mínimo de X X X .
0833 - Resposta
X = 9 X=9 X = 9
0833 - Solução
Supondo o litro de gasolina custando "C C C ", o litro de álcool, custará "0 , 75 C 0,75C 0 , 75 C ". Pelos dados, poderemos obter o rendimento(R R R ):
⇛ \Rrightarrow ⇛ Com a gasolina, teremos o rendimento (R G R_{G} R G ):
R G = 12 k m 1 L = 12 k m C R_{G}=\dfrac{12km}{1L}=\dfrac{12km}{C} R G = 1 L 12 km = C 12 km
⇛ \Rrightarrow ⇛ Com o álcool, teremos o rendimento (R A R_{A} R A ):
R A = X k m 1 L = X k m 0 , 75 C R_{A}=\dfrac{X\,km}{1L}=\dfrac{X\,km}{0,75C} R A = 1 L X km = 0 , 75 C X km
Haverá vantagem, quando R A ⩾ R G R_{A}\geqslant R_{G} R A ⩾ R G , isto é:
X k m 0 , 75 C ⩾ 12 k m C → x ⩾ 12 ⋅ 0 , 75 0 , 75 C → x ⩾ 9 \dfrac{X\,\cancel{km}}{0,75\cancel{C}}\geqslant \dfrac{12\cancel{km}}{\cancel{C}}\to\dfrac{x\geqslant 12\cdot 0,75}{\cancel{0,75C}}\to\boxed{x\geqslant 9} 0 , 75 C X km ⩾ C 12 km → 0 , 75 C x ⩾ 12 ⋅ 0 , 75 → x ⩾ 9
Portanto, a partir de um rendimento mínimo de 9 9 9 km port litro (resposta final).
0832
Resolva, em R \mathbb{R} R , a seguinte inequação:
x 2 − 2 x + 2 > 0 x^2-2x+2>0 x 2 − 2 x + 2 > 0
0832 - Resposta
S = { x ∈ R } S=\{x\in\mathbb{R}\} S = { x ∈ R }
0832 - Solução
Observe o gráfico da função y = x 2 − 2 x + 2 y=x^2-2x+2 y = x 2 − 2 x + 2
Portanto, a solução( S ) (S) ( S ) , será: S = { x ∈ R } \boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\right\}} S = { x ∈ R }
0831
Resolva, em R \mathbb{R} R , a seguinte inequação:
x 2 − x + 10 < 16 x^2-x+10<16 x 2 − x + 10 < 16
0831 - Resposta
S = { x ∈ R / − 2 < x < 3 } S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2<x<3\right\} S = { x ∈ R / − 2 < x < 3 }
0831 - Solução
Vamos analisar a inequação:
x 2 − x + 10 < 16 → x 2 − x − 6 < 0 x^2-x+10<16\to x^2-x-6<0 x 2 − x + 10 < 16 → x 2 − x − 6 < 0
Observe o gráfico da função y = x 2 − x − 6 y=x^2-x-6 y = x 2 − x − 6
Portanto, a solução( S ) (S) ( S ) , será: S = { x ∈ R / − 2 < x < 3 } \boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-2<x<3\right\}} S = { x ∈ R / − 2 < x < 3 }
0830
Resolva, em R \mathbb{R} R , a seguinte inequação:
1 x + 1 1 − x > 0 \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}>0 x 1 + 1 − x 1 > 0
0830 - Resposta
S = { x ∈ R / 0 < x < 1 } S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,0<x<1\right\} S = { x ∈ R / 0 < x < 1 }
0830 - Solução
Analisando a inequação, teremos:
1 x + 1 1 − x > 0 → y = 1 x ( 1 − x ) > 0 \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{1-x}>0\to y=\dfrac{1}{x(1-x)}>0\quad x 1 + 1 − x 1 > 0 → y = x ( 1 − x ) 1 > 0 ou
y = 1 x − x 2 > 0 y=\dfrac{1}{x-x^2}>0 y = x − x 2 1 > 0 , para x ≠ 0 x\neq 0 x = 0 e x ≠ 1 x\neq 1 x = 1
Vamos observar o gráfico da função y = 1 x − x 2 y=\dfrac{1}{x-x^2} y = x − x 2 1 , para x ≠ 0 x\neq 0 x = 0 e x ≠ 1 x\neq 1 x = 1
Portanto, a solução( S ) (S) ( S ) , será: S = { x ∈ R / 0 < x < 1 } \boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,0<x<1\right\}} S = { x ∈ R / 0 < x < 1 }
0829
Resolva, em R \mathbb{R} R , a seguinte inequação:
x − 1 x + 1 > 0 \dfrac{x-1}{x+1}>0 x + 1 x − 1 > 0
0829 - Resposta
S = x ∈ R / x < − 1 ou x > 1 S=x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,x>1 S = x ∈ R / x < − 1 ou x > 1
0829 - Solução
Observe o gráfico da função:
y = x − 1 x + 1 y=\dfrac{x-1}{x+1} y = x + 1 x − 1 , para x ≠ − 1 x\neq -1 x = − 1
Portanto, a solução( S ) (S) ( S ) , será: S = x ∈ R / x < − 1 ou x > 1 \boxed{S=x\in\mathbb{R}\,/\,x<-1\,\,\text{ou}\,\,x>1} S = x ∈ R / x < − 1 ou x > 1
0828
Resolva, em R \mathbb{R} R , a seguinte inequação:
( x + 1 ) ( x − 2 ) 3 ( x − 7 ) ( x 2 + 7 ) ⩾ 0 (x+1)(x-2)^3(x-7)(x^2+ 7)\geqslant 0 ( x + 1 ) ( x − 2 ) 3 ( x − 7 ) ( x 2 + 7 ) ⩾ 0
0828 - Resposta
S = { x ∈ R / − 1 ⩽ x ⩽ 2 ou x ⩾ 7 } S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 7\right\} S = { x ∈ R / − 1 ⩽ x ⩽ 2 ou x ⩾ 7 }
0828 - Solução
Observe o quadro de sinais:
Portanto, a solução( S ) (S) ( S ) , será: S = { x ∈ R / − 1 ⩽ x ⩽ 2 ou x ⩾ 7 } \boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 7\right\}} S = { x ∈ R / − 1 ⩽ x ⩽ 2 ou x ⩾ 7 }
0827
Resolva, em R \mathbb{R} R , a seguinte inequação:
( x + 1 ) ( 3 − x ) ( x − 2 ) 2 ⩾ 0 (x+1)(3-x)(x-2)^2\geqslant 0 ( x + 1 ) ( 3 − x ) ( x − 2 ) 2 ⩾ 0
0827 - Resposta
S = { x ∈ R / − 1 ⩽ x ⩽ 3 } S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 3\right\} S = { x ∈ R / − 1 ⩽ x ⩽ 3 }
0827 - Solução
Observe o quadro de sinais:
Portanto, a solução( S ) (S) ( S ) , será: S = { x ∈ R / − 1 ⩽ x ⩽ 3 } \boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,-1\leqslant x\leqslant 3\right\}} S = { x ∈ R / − 1 ⩽ x ⩽ 3 }
0826
Resolva, em R \mathbb{R} R , a seguinte inequação:
( x + 1 ) ( 3 − x ) ( x − 2 ) 2 ⩽ 0 (x+1)(3-x)(x-2)^2\leqslant 0 ( x + 1 ) ( 3 − x ) ( x − 2 ) 2 ⩽ 0
0826 - Resposta
S = { x ∈ R / x ⩽ − 1 ou x = 2 ou x ⩾ 3 } S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -1\,\,\text{ou}\,\,x=2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\} S = { x ∈ R / x ⩽ − 1 ou x = 2 ou x ⩾ 3 }
0826 - Solução
Observe o quadro de sinais:
Portanto, a solução( S ) (S) ( S ) , será: S = { x ∈ R / x ⩽ − 1 ou x = 2 ou x ⩾ 3 } \boxed{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,/\,x\leqslant -1\,\,\text{ou}\,\,x=2\,\,\text{ou}\,\,x\geqslant 3\right\}} S = { x ∈ R / x ⩽ − 1 ou x = 2 ou x ⩾ 3 }