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0875

Resolva, em $\sf{\mathbb{R}}$, a seguinte equação logarítmica

$\sf{\log_{5}(x^2-3x+4) = 2}$

0875 - Resposta

$\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x=\dfrac{3-\sqrt{93}}{2}\,\,\vee\,\,x=\dfrac{3+\sqrt{93}}{2}\right\}}$

0875 - Solução

Condição de existência:

$\sf{x^2-3x+4>0\to\forall x\in\mathbb{R}\quad(I)}$

Veja o gráfico abaixo:

Vamos resolver algebricamente a equação:

$\sf{\log_{5}(x^2-3x+4) = 2}$

$\sf{x^2-3x+4=25\to}$

$\sf{x^2-3x-21=0\to}$

$\sf{x=\dfrac{3\pm\sqrt{93}}{2}}\quad(II)$

A solução$\sf{(S)}$ final será a intersecção $\sf{(I)\,\cap\,(II)}$, ou seja:

$\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x=\dfrac{3-\sqrt{93}}{2}\,\,\vee\,\,x=\dfrac{3+\sqrt{93}}{2}\right\}}$

0874

Resolva, em $\sf{\mathbb{R}}$, a seguinte inequação logarítmica

$\sf{\log_{3}(x-1) > log_{3}(-x+2)}$

0874 - Resposta

$\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,\big|\,\dfrac{3}{2}<x<2\right\}}$

0874 - Solução

Condição de existência:

$\sf{x-1>0\to x>1}$ e $\sf{-x+2>0\to x<2\,\therefore\,1<x<2\,(I)}$

Resolução:

Como a base três é maior que um, tomamos os logaritmandos mantendo o sinal da desigualdade, assim:

$\sf{x-1>-x+2\to 2x>3\to x>\dfrac{3}{2}\,(II)}$

A solução$\sf{(S)}$ final será a intersecção $\sf{(I)\cap(II)}$:

$\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,\big|\,\dfrac{3}{2}<x<2\right\}}$

0873

Resolva, em $\sf{\mathbb{R}}$, a seguinte equação logarítmica

$\sf{\log_{2}(x-3) + log_{2}(x+2) = 4}$

0873 - Solução

Primeiro, podemos combinar os logaritmos usando a propriedade de soma de logaritmos:

$\sf{\log_2​(x−3)+log_2​(x+2)=log_2​[(x−3)(x+2)]}$

Em seguida, podemos multiplicar os fatores no expoente da base 2:

$\sf{\log_2​(x−3)(x+2)=log_2​(x^2−x−6)}$

Finalmente, podemos igualar a base 2 aos dois lados da equação:

$\sf{x^2−x−6=2^4}$

Resolvendo a equação, encontramos $\sf{x=5}$ ou $\sf{x=-1}$. No entanto, o valor $\sf{x=-1}$ não é válido, pois o logaritmo de um número negativo não é definido. Portanto, a única solução da equação $\sf{\log_2​(x−3)+log_2​(x+2)=4}$ é $\sf{x=5}$​.

OBS: A equação acima foi integralmente resolvida através do 'Google Bard' inteligência artificial do Google criado como estratégia ao concorrente ChatGPT.

Observe que a IA resolveu incorretamente a questão, por vários aspectos:

1. Levou em consideração apenas a equação $\sf{x^2-x-6=0}$, de onde obteve as raízes 5 e -1;

2. A partir daí, toda resolução está incorreta, uma vez que essas raízes é que foram testadas, concluindo-se erroneamente a solução final.

Apenas a salientar que as soluções corretas surgem da equação $\sf{x^2-x-22=0\to x=\dfrac{1 \pm \sqrt{89}}{2}}$ resolvidas através do ChatGPT, acima citado. A primeira solução, $\sf{x=\dfrac{1+\sqrt{89}}{2}}$, está dentro da condição de existência $\sf{x > 3}$. No entanto, a segunda solução, $\sf{x=\dfrac{1-\sqrt{89}}{2}}$, não satisfaz essa condição.

Entretanto, o ChatGPT também havia desconsiderado a condição de existência dos logaritmos apresentados na equação original e, após confrontado com essa minha dúvida, é que ele fez a devida correção. Abaixo, já corrigida, a resolução na íntegra através do ChatGPT:

$\sf{\log_{2}(x-3) + \log_{2}(x+2) = 4}$

Aplicando as propriedades dos logaritmos, obtemos:

$\sf{\log_{2}[(x-3)(x+2)] = 4}$

Podemos remover o logaritmo aplicando a propriedade inversa dos logaritmos:

$\sf{2^{4} = (x-3)(x+2)}$

Simplificando, temos:

$\sf{16 = x^{2} - x - 6}$

Agora, vamos resolver a equação quadrática considerando a condição de existência $\sf{x > 3}$. Colocando todos os termos em um lado da equação, temos:

$\sf{x^{2} - x - 22 = 0}$

Usando a fórmula quadrática:

$\sf{x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}}$,

para os coeficientes: $\sf{a = 1}\,\,$, $\,\sf{b = -1}\,\,$ e $\,\sf{c = -22}$, temos:

$\sf{x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-22)}}{2\cdot 1}}\to$

$\sf{x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+88}}{2}}\,$ ou $\,\sf{x=\dfrac{1\pm\sqrt{89}}{2}}$

A primeira solução, $\sf{x=\dfrac{1+\sqrt{89}}{2}}$, está dentro da condição de existência $\sf{x>3}$. No entanto, a segunda solução, $\sf{x=\dfrac{1-\sqrt{89}}{2}}$, não satisfaz essa condição.

Portanto, a solução válida para a equação logarítmica, considerando as condições de existência, é: $\sf{x = \dfrac{1 + \sqrt{89}}{2}}.$

Observação Final: A condição de existência foi obtida por mim, pois inicialmente, para existência dos próprios logaritmos formadores da equação, devemos ter: $\sf{x-3>0}\,$ e $\sf{x-2>0}\,$, isto é $\sf{x>3}$. Toda a resolução, portanto, deve levar em consideração essa condição de existência.

0872

Classifique em verdadeira$(V)$ ou falsa$(F)$ cada sentença:

a) $\{c;\,c;\,c;\,d;\,d;\,f;\,f\}=\{c;\,d;\,f\}$

b) $\{x\,|\,x^2=9\}\,=\,\{x\,|\,x\neq 0\,\,\,\text{e}\,\,\,x^3-9x=0\}$

c) $\{x\,|\,4x-18=-34\}=\{-4\}$

d) $\{x\in\mathbb{Z}_{+}\,|\,x<0\,\,\lor\,\,x\geqslant 0\}=\mathbb{N}$

0872 - Soluções

a) $\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}$, pois não há diferença em se repetir(ou não) os elementos dentro do mesmo conjunto

Portanto: $\{c;\,d;\,f\}=\{c;\,d;\,f\}\checkmark$

---

b) $\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}$ e a justificativa está em se resolver as equações, assim:

$\Rrightarrow$Do lado esquerdo da igualdade, teremos:

$x^2=9\to x=\pm\sqrt{9}\to \boxed{x=-3}\quad$ ou $\boxed{x=3}$

$\Rrightarrow$Do lado direito da igualdade, teremos:

$x\neq 0\quad$ e

$x^3-9x=0\to x(x^2-9)=0\to \cancel{x=0}\quad$ ou $\quad x^2-9=0\to \boxed{x=-3}\quad$ ou $\quad\boxed{x=3}$

Portanto: $\{-3;\,3\}=\{-3;\,3\}\checkmark$

---

c) $\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}$, e a justificativa está em se resolver a equação do lado esquerdo, assim:

$4x-18=-34\to 4x=-34+18\to 4x=-16\to\boxed{x=-4}$

Portanto: $\{-4\}=\{-4\}\checkmark$

---

d) $\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}$, pois $\mathbb{Z}_{+}=\mathbb{N}\checkmark$

0871

Sendo $\boldsymbol{\textcolor{#b30047}{A=\{1;\,2\}}}$; $\boldsymbol{\textcolor{#99003d}{B=\{2;\,3\}}}$; $\boldsymbol{\textcolor{#800033}{C=\{1;\,3;\,4\}}}$ e $\boldsymbol{\textcolor{#660029}{D=\{1;\,2;\,3;\,4\}}}$, classifique em verdadeira$(V)$ ou falsa$(F)$ cada sentença:

a) $\large{A\subset D}$	c) $\large{B\subset C}$	e) $\large{C=D}$
b) $\large{A\subset B}$	d) $\large{D\supset B}$	f) $\large{A\not\subset C}$

0871 - Soluções

a) $\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}$, pois todos os elementos de $A$ pertencem também a $D$

b) $\textcolor{red}{\text{Falsa}}$, pois $1\notin B$

c) $\textcolor{red}{\text{Falsa}}$, pois $2\notin C$

d) $\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}$, pois todos os elementos de $B$ pertencem também a $D$

e) $\textcolor{red}{\text{Falsa}}$, pois $2\notin C$

f) $\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}$, $2\notin C$

0870

Dados $\boldsymbol{\textcolor{#228B22}{A=\{1;\,2;\,3;\,4\}}}$ e $\boldsymbol{\textcolor{blue}{B=\{2;\,4\}}}$

a) Escreva com símbolos as sentenças:

1) $3$ é elemento de $A$	4) $B$ é igual a $A$
2) $1$ não pertence a $B$	5) $4$ pertence a $B$
3) $B$ está contido em $A$	6) $A$ contém $B$

b) Classifique essas sentenças em falsa$(F)$ ou verdadeira$(V)$

0870 - Soluções

$\textcolor{violet}{(V)}\,\,$1) $3\in\,A$	$\textcolor{red}{(F)}\,\,4) B=A$
$\textcolor{violet}{(V)}\,\,$2) $1\notin\,B$	$\textcolor{violet}{(V)}\,\,$5) $4\in\,B$
$\textcolor{violet}{(V)}\,\,$3) $B\subset A$	$\textcolor{red}{(V)}\,\,$6) $A\supset B$

0869

Determine, justificando, os conjuntos-solução para:

a) $A=\{x\in\mathbb{N}\,|\,x^2-7=4\}$

b) $B=\{x\in\mathbb{Z}_{-}\,|\,x^2-4x-5=0\}$

c) $C=\{x\in\mathbb{Q}\,|\,9x^2-4=9\}$

0869 - Soluções

a) $x^2-7=4\to x^2=11\to x=-\sqrt{11}\quad$ ou $\quad x=\sqrt{11}\,\therefore\, A=\{\}$

Justificativa: O conjunto universo explicitado é dos números naturais. Como nenhuma das soluções é natural, $A=\varnothing$

---

b) $x^2-4x-5=0\to$ Fórmula Quadrática $\to$

$x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times(-5)}}{2\times 1}\to$

$x=\dfrac{4\pm\sqrt{36}}{2}\to x=\dfrac{4\pm 6}{2}\to$

$x=-1\quad$ ou $\quad x=5\,\therefore\,B=\{-1;\,5\}$

Justificativa: O conjunto universo explicitado é dos números inteiros. Como as duas soluções são inteiras, $B=\{-1;\,5\}$

---

c) $9x^2-4=9\to 9x^2=13\to x^2=\dfrac{13}{9}\to x=\pm\sqrt{\dfrac{13}{9}}\to$

$x=-\dfrac{\sqrt{13}}{3}\quad$ ou $\quad x=\dfrac{\sqrt{13}}{3}\,\therefore\,C=\left\{-\dfrac{\sqrt{13}}{3};\,\dfrac{\sqrt{13}}{3}\right\}$

Justificativa: O conjunto universo explicitado é dos números racionais. Como as duas soluções são racionais, $C=\left\{-\dfrac{\sqrt{13}}{3};\,\dfrac{\sqrt{13}}{3}\right\}$

0868

Enumere os seguintes conjuntos caracterizados por propriedade:

a) $A=\left\{x\in\mathbb{N}\,|\,-4\leqslant x\leqslant 4\right\}$

b) $B=\{x\,|\,0\cdot x=5\}$

c) $C=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x^2=-1\}$

d) $D=\{x\in\mathbb{C}\,|\,3x^2+2=-7\}$

0868 - Soluções

a) $A=\{0;\,1;\,2;\,3;\,4\}$

Justificativa: Conforme explicitado, devemos enumerar apenas os números naturais

---

b) $B=\varnothing$

Justificativa: Não há valor numérico que multiplicado por zero, forneça algum outro valor que não seja o próprio zero.

---

c) $C=\varnothing$

Justificativa: Não há valor real, conforme explicitado, cujo quadrado forneça $-1$. Entretanto, se o conjunto universo fosse os complexos, a solução seria:

$x^2=-1\to x=\pm\sqrt{-1}\to x=-i\quad$ ou $\quad x=i$

---

d) $D=\{-i\sqrt{3};\,i\sqrt{3}\}$

Justificativa: Conforme o conjunto universo explicitado, podemos resolver essa equação, cujas soluções são números complexos; assim:

$3x^2+2=-7\to 3x^2=-9\to x^2=-3\to x=\pm\sqrt{-3}\to$

$x=\pm\sqrt{-1}\cdot\sqrt{3}\to x=-i\sqrt{3}\quad$ ou $\quad x=i\sqrt{3}$

0867

Caracterize por meio de uma propriedade, os seguintes conjuntos enumerados:

a) $A=\{\pm 1;\,\pm 2;\,\pm 3;\,\pm 4;\,\pm 6;\,\pm 12\}$

b) $B=\{0;\,-15;\,-30;\,-45;\,-60;\,\ldots\}$

c) $C=\{1;\,4;\,9;\,16;\,25;\,36;\,49;\,64;\,81;\,100\}$

0867 - Soluções

a) $A=\{x\,|\,x\,$é divisor de $12\}$

b) $B=\{x\,|\,x\,$é múltiplo inteiro e negativo de $10\}$

c) $C=\{x\,|\,x\,$é quadrado de um inteiro$\}$

0866

Enumere os seguintes conjuntos:

a) O conjunto$(A)$ dos múltiplos inteiros de 3, entre -13 e +13

b) O conjunto$(B)$ dos divisores inteiros de 42

c) O conjunto$(C)$ das frações com numerador e denominador inteiros, compreendidos entre 0(zero) e 4(quatro), exceto estes.

0866 - Soluções

a) $A=\{-12;\,-9;\,-6;\,-3;\,0;\,3;\,6;\,9;\,12\}$

b) $B=\{-1;\,1;\,-2;\,2;\,-3;\,3;\,-6;\,6;\,-7;\,7;\,-14;\,14;\,-21;\,21;-42;\,42\}$

c) $C=\left\{\dfrac{1}{1};\,\dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{3};\,\dfrac{2}{1};\,\dfrac{2}{2};\,\dfrac{2}{3};\,\dfrac{3}{1};\,\dfrac{3}{2};\,\dfrac{3}{3}\right\}$

0865

Caracterize os seguintes conjuntos enumerados:

a) $A=\{0;\,2;\,4;\,6;\,8;\ldots\}$

b) $B=\{0;\,1;\,2;\,3;\ldots\}$

0865 - Soluções

a) $A=\{x\,|\,x\,$é um número inteiro, não negativo e par$\}$

b) Respostas possíveis:

$B=\{x\,|\,x\,$ é um número natural$\}$; ou

$B=\{x\,|\,x\,$ é um número inteiro e não negativo$\}$

0864

Enumere os elementos dos conjuntos:

a) $A=\{x\,|\,x\,\text{é letra da palavra "professorlopes"}\}$

b) $B=\{x\,|\,x\,\text{é cor da bandeira brasileira}\}$

c) $C=\{x\,|\,x\,\text{é número primo positivo}\}$

0864 - Solução

a) $A=\{p;\,r;\,o;\,f;\,e;\,s;\,l\}$

b) $B=\{$verde, amarelo, azul, branco$\}$

c) $C=\{2;\,3;\,5;\,7;\,11;\,13;\,17;\ldots\}$

0863

Determine:

a) $A=\{x\,|\,x\neq x\}$

b) $B=\{x\,|\,x\,\text{é impar e múltiplo de }2\}$

c) $C=\{x\,|\,x>0\,\text{e}\,x<0\}$

0863 - Soluções

a) $A=\{\}$

b) $B=\varnothing$

c) $C=\{\}$

0862

Represente, caracterizando, o conjunto$(I)$ dos divisores positivos de 50(cincoenta).

0862 - Solução

Caracterizando: $I=\{x\in\mathbb{Z}_{+}^{*}\,|\,x=1\,ou\,x=5\,ou\,x=10\,ou\,x=25\,ou\,x=50\}$

0861

Represente, caracterizando, o conjunto$(H)$ dos números inteiros de 0(zero) a 2021(dois mil e vinte e um).

0861 - Solução

Caracterizando: $H=\{x\in\mathbb{Z}\,|\,0\leqslant x\leqslant2021\}$

0860

Represente o conjunto$(G)$ dos múltiplos positivos de 3(três), menores que vinte e três, em todas as formas de representá-lo.

0860 - Solução

Enumeração: $G=\{3;\,6;\,9;\,12;\,15;\,18;\,21\}$

Caracterização: $G=\{x\in\mathbb{Z}_{+}^{*}\,|\,x=3\,ou\,x=6\,ou\,x=9\,ou\,x=12\,ou\,x=15\,ou\,x=18\,ou\,x=21\}$

Diagramação:

Múltiplos de Números Inteiros

$\Rrightarrow$Definição:

Múltiplos de um número inteiro são todos os números inteiros que se obtêm quando multiplicamos esse número inteiro por um número$(n)$ natural, isto é $n\in\mathbb{N}$.

$\Rrightarrow$Exemplos:

1) Múltiplos$\bold{(M)}$ de 2(dois): $\boldsymbol{M(2)=\{0;2;4;6;\ldots}\}$

2) Múltiplos$\bold{(M)}$ de 3(três): $\boldsymbol{M(3)=\{0;3;6;9;12;\ldots\}}$

$\Rrightarrow$Observações:

I) 0(zero) é múltiplo de qualquer número(inteiro ou não)

II) Qualquer número(inteiro ou não) é múltiplo de si próprio.

III) Ao contrário do conjunto dos divisores de um número inteiro, que é finito, o conjunto dos múltiplos de um número(inteiro ou não) é sempre infinito, exceto quando houver alguma restrição explícita e/ou limitante.

0859

Represente o conjunto$(F)$ dos números ímpares positivos e menores que vinte e um, em todas as formas de representá-lo.

0859 - Solução

Enumeração: $F=\{1;\,3;\,5;\,7;\,9;\,11;\,13;\,15;\,17;\,19\}$

Caracterização: $F=\{x\in\mathbb{Z}_{+}^{*}\,|\,x=1\,ou\,x=3\,ou\,x=5\,ou\,x=7$
$ou\,x=9\,ou\,x=11\,ou\,x=13\,ou\,x=15\,ou\,x=17\,ou\,x=19\}$

Diagramação:

0858

Represente o conjunto$(E)$ dos algarismos romanos em todas as formas de representá-lo.

0858 - Solução

Enumeração: $E=\{I;\,V;\,X;\,L;\,C;\,D;\,M\}$

Caracterização: $E=\{x\,|\,x\,$é um algarismo romano$\}$

Diagramação:

0857

Represente o conjunto$(D)$ das vogais em todas as formas de representá-lo.

0857 - Solução

Enumeração: $D=\{$a, e, i, o, u$\}$

Caracterização: $D=\{x\,|\,x\,$é uma vogal$\}$

Diagramação:

0856

Represente o conjunto caracterizado por $C=\{x\,|\,x\,\text{é inteiro e }\,0\leqslant x\leqslant 8\}$, em todas as outras formas de representá-lo.

0856 - Solução

Enumeração: $C=\{0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8\}$

Diagramação:

0855

Represente o conjunto$(B)$ composto pelos estados da região sudeste do Brasil, em todas as formas de representá-los(ou descrevê-los).

0855 - Solução

Enumeração: $B=\{$Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro, São Paulo$\}$

Caracterização: $B=\{x\,|\,x\,$é um estado da região sudeste do Brasil$\}$

Diagramação:

0854

Represente o conjunto$(A)$ composto pelos dias da semana, em todas as formas de representá-los(ou descrevê-los).

0854 - Solução

Enumeração: $A=\{$Domingo, Segunda, Terça, Quarta, Quinta, Sexta, Sábado$\}$

Caracterização: $A=\{x\,|\,x\,$é um dia da semana$\}$

Diagramação:

Representando um conjunto

Há vários recursos para representar ou descrever um conjunto. Podemos:

• Enumerá-los: escrevendo ou listando os elementos do conjunto dado. Exemplos:

  • $A=\{ 0;1;2;3;4;\ldots\}$; $\quad B=\{2;4;6;\ldots;2021\}$ $\quad \textrm{e}$ $\quad C=\{a;e;i;o;u\}$

• Caracterizá-los: descrevendo um conjunto por meio de uma propriedade característica. Acompanhe um exemplo completo, a partir de um conjunto mais amplo, chamado universo$(\mathbb{U})$:

  • Conjunto universo$(\mathbb{U})$: números inteiros não negativos;

  • Propriedade característica: $0 \leq x \leq 2021$;

  • Conjunto enumerado: $A=\{0;1;\ldots;2020;2021\}$;

  • Conjunto caracterizado: $\displaystyle{A=\{x\in\mathbb{Z_{+}}\, |\, 0 \leq x \leq 2021 \}}$

• Diagramá-los: representando um conjunto por um diagrama para facilitar a visualização dos seus elementos e de suas características. Os elementos desse conjunto são representados por pontos internos a uma linha fechada. Esses modelos são conhecidos como diagramas de Euler¹ ou de Venn² e estão presentes na obra Cartas a uma princesa da Alemanha escrita por Euler, por volta de 1770. Veja, no exemplo a seguir, que os conjuntos $A=\{1;2;3;4;5\} \quad \textrm{e} \quad B=\{a;b;c\}$ podem ser representados como:

0853

Na figura abaixo, cada um dos quatro círculos maiores é tangente a dois lados do quadrado $EFGH$, cujos lados medem $2cm$, e a dois outros círculos maiores. O círculo menor é tangente aos quatro círculos maiores.

a) Qual é a medida do raio($r$) de cada círculo maior?

b) O quadrilátero $C_1C_2C_3C_4$, com vértices nos centros dos círculos maiores, é um quadrado. Qual é a medida do lado $C_1C_2$ desse quadrado?

c) Calcule o comprimento da diagonal($d$) do quadrado $C_1C_2C_3C_4$.

d) Encontre a medida do raio($r_1$) do círculo menor.

0853 - Respostas

a) $r=0,5$ cm

b) $C_1C_2=1$ cm

c) $d=\sqrt{2}$ cm

d) $r_1=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}$ cm

0853 - Soluções

Inicialmente vamos analisar a figura a seguir com os elementos acrescidos, a fim de compreender melhor as soluções:

a) Veja que o segmento $\overline{EF}=2cm$ corresponde a quatro raios($r$) ou seja, cada $r=0,5cm$ que é o raio de cada círculo maior.

b) Veja que o lado $C_1C_2$ corresponde a dois raios($r$) ou seja, $C_1C_2=1cm$. Observe que esse também é o valor dos outros três lados do quadrado $C_1C_2C_3C_4$.

c) Veja que o quadrado $C_1C_2C_3C_4$ é formado por dois triângulos retângulos $\Delta C_1C_2C_3\,\,$ e $\,\,\Delta C_1C_3C_4$ ambos obtidos a partir da diagonal $d$, que é hipotenusa comum aos dois triângulos retângulos. Vamos escolher o triângulo retângulo $\Delta C_1C_2C_3$, aplicar o Teorema de Pitágoras e obter a diagonal $d$; assim:

$d^2=\left(C_1C_2\right)^2+\left(C_2C_3\right)^2\to$

$d^2=1^2+1^2\to\boxed{d=\sqrt{2}\,\,cm}$

d) Veja que a metade da diagonal $d$ corresponde à soma dos raios $r_2=r=0,5cm$ e $r_1$, raio este, pertencente ao círculo menor, o qual, vamos obter:

$\dfrac{d}{2}=r_2+r_1\to\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{2}+r_1\to$

$r_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\to\boxed{r_1=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\,\,cm}$

0852

Sendo $\vec{v}$ e $\vec{u}$ vetores tais que $|\vec{v}|=10$, $|\vec{u}|=16$ e $|\vec{u}-\vec{v}|=14$, determine o ângulo entre $\vec{u}$ e $\vec{v}$.

0852 - Resposta

$\alpha=60^{\circ}$

0852 - Solução

O que se pede é o ângulo $D\hat{C}E$ ou $\alpha$ que indica a inclinação do vetor $\vec{v}$ em relação ao vetor $\vec{u}$. Entretanto, faltam dados para isso, então, verificamos que o mesmo ângulo $\alpha$, oposto pelo vértice $C$, pode ser visto(e calculado) através do triângulo $\Delta ABC.$ Para isso, vamos utilizar a lei dos cossenos; observando a imagem abaixo e a solução a seguir:

$14^2=10^2+16^2-2\times 10\times 16\times\cos(\alpha)\to$

$196=100+256-320\cos(\alpha)\to$

$320\cos(\alpha)=160\to\cos(\alpha)=0,5\to\boxed{\alpha=60^{\circ}}\,\,\checkmark$

0851

Resolva as seguintes equações exponenciais:

a) $\left(2^x\right)^{x+4}=32$	f) $\dfrac{3^{x+2}\cdot 9^x}{243^{5x+1}}=\dfrac{81^{2x}}{27^{3-4x}}$
b) $\left(9^{x+1}\right)^{x-1}=3^{x^2+x+4}$	g) $\sqrt[x+4]{2^{3x-8}}=2^{x-5}$
c) $2^{3x-1}\cdot 4^{2x+3}=8^{3-x}$	h) $8^{3x}=\sqrt[3]{32^x}:4^{x-1}$
d) $\left(3^{2x-7}\right)^3:9^{x+1}=\left(3^{3x-1}\right)^4$	i) $\sqrt[x-1]{\sqrt[3]{2^{3x-1}}}-\sqrt[3x-7]{8^{x-3}}=0$
e) $2^{3x+2}:8^{2x-7}=4^{x-1}$	j) $\sqrt{8^{x-1}}\cdot\sqrt[x+1]{4^{2x-3}}=\sqrt[6]{2^{5x+3}}$

0851 - Soluções

a)

$\left(2^x\right)^{x+4}=32\to \cancel{2}^{x^2+4x}=\cancel{2}^5\to x^2+4x=5\to$

$\overbrace{x^2+4x-5=0}^{\text{Fórmula Quadrática}}\to x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot(-5)}}{2\cdot 1}\to$

$\dfrac{-4\pm\sqrt{36}}{2}\to x=\dfrac{-4\pm 6}{2}\to \boxed{x=-5}\,\,$ ou $\,\,\boxed{x=1}$

Observe as soluções gráficas da equação equivalente $\boldsymbol{x^2+4x-5=0}$:

---

b)

$\left(9^{x+1}\right)^{x-1}=3^{x^2+x+4}\to 9^{x^2-1}=3^{x^2+x+4}\to$

$\cancel{3}^{2x^2-2}=\cancel{3}^{x^2+x+4}\to 2x^2-2=x^2+x+4\to$

$\overbrace{x^2-x-6=0}^{\text{Fórmula Quadrática}}\to x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}\to$

$x=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}\to x=\dfrac{1\pm 5}{2}\to\boxed{x=-2}\,\,$ ou $\,\,\boxed{x=3}$

Observe as soluções gráficas da equação equivalente $\boldsymbol{x^2-x-6=0}$:

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c)

$2^{3x-1}\cdot 4^{2x+3}=8^{3-x}\to 2^{3x-1}\cdot 2^{4x+6}=2^{9-3x}\to$

$\cancel{2}^{3x-1+4x+6}=\cancel{2}^{9-3x}\to 3x-1+4x+6=9-3x\to$

$3x+4x+3x=9-6+1\to 10x-4=0\to\boxed{x=\dfrac{2}{5}}$

Observe a solução gráfica da equação equivalente $\boldsymbol{10x-4=0}$:

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d)

$\left(3^{2x-7}\right)^3:9^{x+1}=\left(3^{3x-1}\right)^4\to\dfrac{3^{6x-21}}{3^{2x+2}}=3^{12x-4}\to$

$\cancel{3}^{6x-21-2x-2}=\cancel{3}^{12x-4}\to 4x-23=12x-4\to$

$12x-4x=-23+4\to 8x+19=0\to\boxed{x=-\dfrac{19}{8}}$

Observe a solução gráfica da equação equivalente $\boldsymbol{8x+19=0}$:

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e)

$2^{3x+2}:8^{2x-7}=4^{x-1}\to\dfrac{2^{3x+2}}{2^{6x-21}}=2^{2x-2}\to$

$\cancel{2}^{3x+2-6x+21}=\cancel{2}^{2x-2}\to-3x+23=2x-2\to$

$2x+3x=23+2\to 5x-25=0\to\boxed{x=5}$

Observe a solução gráfica da equação equivalente $\boldsymbol{5x-25=0}$:

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f)

$\dfrac{3^{x+2}\cdot 9^x}{243^{5x+1}}=\dfrac{81^{2x}}{27^{3-4x}}\to\dfrac{3^{x+2}\cdot3^{2x}}{3^{25x+5}}=\dfrac{3^{8x}}{3^{9-12x}}\to$

$\cancel{3}^{x+2+2x-25x-5}=\cancel{3}^{8x-9+12x}\to-22x-3=20x-9\to$

$20x+22x=-3+9\to 42x-6=0\to\boxed{x=\dfrac{1}{7}}$

Observe a solução gráfica da equação equivalente $\boldsymbol{42x-6=0}$:

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g)

$\sqrt[x+4]{2^{3x-8}}=2^{x-5}\to \cancel{2}^{\frac{3x-8}{x+4}}=\cancel{2}^{x-5}\to$

$\dfrac{3x-8}{x+4}=x-5\to x^2-x-20=3x-8\to$

$\overbrace{x^2-4x-12=0}^{\text{Fórmula Quadrática}}\to x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2}-4\cdot 1\cdot(-12)}{2\cdot 1}\to$

$x=\dfrac{4\pm\sqrt{64}}{2}\to x=\dfrac{4\pm 8}{2}\to\boxed{x=-2}\,\,$ ou $\,\,\boxed{x=6}$

Observação: Do estudo dos polinômios, em especial do segundo grau, temos uma estrutura de decomposição, que funciona apenas se $a=1$ e que é a seguinte:

Para $1x^2-Sx+P=0$ teremos: $S=x_{1}+x_{2}\,\,$ e $\,\,P=x_{1}\cdot x_{2}$

onde $x_{1}\,\,$ e $\,\,x_{2}$ são os zeros dessa função ou as raízes dessa equação.

Aqui, ficamos tentados, até porque parece mais fácil, "chutarmos" dois valores(duas raízes) cuja soma$(S)$ seja, no caso, $-4$, isto é, $-2\,\,$ e $\,\,6$; e cujo produto$(P)$ seja, no caso, $-12$, isto é, $-2\,\,$ e $\,\,6$.

Podemos utilizar esse método? Sim, sem problemas, desde que saibamos a origem de tal decomposição, senão, corremos o risco de "decorarmos" mais uma fórmula que servirá especificamente para o caso acima, ou seja, para equações do segundo grau com $a=1.$ Ora, então basta "decorarmos" uma única fórmula: a fórmula quadrática(ou fórmula de Bhaskara) que serve para resolver todas as equações do segundo grau.

Observe as soluções gráficas da equação equivalente $\boldsymbol{x^2-4x-12=0}$:

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h)

$8^{3x}=\sqrt[3]{32^x}:4^{x-1}\to2^{9x}=2^{\frac{5x}{3}}:2^{2x-2}\to$

$\cancel{2}^{9x}=\cancel{2}^{\frac{5x}{3}-2x+2}\to 9x+2x-\dfrac{5x}{3}=2\to$

$27x+6x-5x=6\to 28x-6=0\to\boxed{x=\dfrac{3}{14}}$

Observe a solução gráfica da equação equivalente $\boldsymbol{28x-6=0}$:

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i)

$\sqrt[x-1]{\sqrt[3]{2^{3x-1}}}-\sqrt[3x-7]{8^{x-3}}=0\to\cancel{2}^{\frac{3x-1}{3x-3}}=\cancel{2}^{\frac{3x-9}{3x-7}}\to$

$\dfrac{3x-1}{3x-3}=\dfrac{3x-9}{3x-7}\to(3x-1)(3x-7)=(3x-3)(3x-9)\to$

$\cancel{9x^2}-24x+7=\cancel{9x^2}-36x+27\to 12x-20=0\to\boxed{x=\dfrac{5}{3}}$

Observe a solução gráfica da equação equivalente $\boldsymbol{12x-20=0}$:

Observe, ainda, essa equação(e seu código inserido) em WolframAlpha, cuja solução é $\dfrac{5}{3}$ ou $1,\overline{6}$:

Retificação:

Conceito de Radiciação: Sendo $a$ e $b$ números reais com $\geqslant 0$, $b\geqslant 0$, $\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}$, teremos $\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a$

Dessa forma, ao utilizarmos o valor encontrado $\dfrac{5}{3}$ aos radicais da questão original, teremos

vários índices não naturais, mais especificamente fracionários, daí não podermos ter

esse valor como solução final. Portanto, retificando: $\boxed{S=\varnothing}\checkmark$

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j)

$\sqrt{8^{x-1}}\cdot\sqrt[x+1]{4^{2x-3}}=\sqrt[6]{2^{5x+3}}\to\cancel{2}^{\frac{3x-3}{2}}\cdot\cancel{2}^{\frac{4x-6}{x+1}}=\cancel{2}^{\frac{5x+3}{6}}\to$

$\dfrac{3x-3}{2}+\dfrac{4x-6}{x+1}=\dfrac{5x+3}{6}\to$

Para MMC$(2;\,\,x+1;\,\,6)=6(x+1)\,\,$ e $\,\,x\neq-1$, teremos:

$\dfrac{3(x+1)(3x-3)+6(4x-6)=(x+1)(5x+3)}{\cancel{6(x+1)}}\to$

$9x^2-9+24x-36=5x^2+8x+3\to 4x^2+16x-48=0\,(\div 4)\to$

$\underbrace{x^2+4x-12=0}_{\text{Fórmula Quadrática}}\to x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot(-12)}}{2\cdot 1}\to$

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2}\to x=\dfrac{-4\pm 8}{2}\to\boxed{x=-6}\,\,$ ou $\,\,\boxed{x=2}$

Observe as soluções gráficas da equação equivalente $\boldsymbol{x^2+4x-12=0}$:

Observe, ainda, essa equação(e seu código inserido) em WolframAlpha, cujas soluções são $-6$ ou $2$:

Retificação:

Conceito de Radiciação: Sendo $a$ e $b$ números reais com $\geqslant 0$, $b\geqslant 0$, $\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}$, teremos $\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a$

Dessa forma, ao utilizarmos o valor encontrado $-6$ aos radicais da questão original, teremos

vários índices não naturais, mais especificamente negativos, daí não podermos ter

esse valor como solução final. Portanto, retificando: $\boxed{S=\{2\}}\checkmark$

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1. Leonhard Euler (1707-1783), matemático suíço, responsável por muitas notações matemáticas que são utilizadas até hoje. ↩

2. John Venn (1834-1923), matemático inglês que propôs uma nova forma de diagramas em sua obra Lógica Simbólica. ↩