Página35¶

0875¶

Resolva, em \(\sf{\mathbb{R}}\), a seguinte equação logarítmica

\(\sf{\log_{5}(x^2-3x+4) = 2}\)

0875 - Resposta

\(\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x=\dfrac{3-\sqrt{93}}{2}\,\,\vee\,\,x=\dfrac{3+\sqrt{93}}{2}\right\}}\)

0875 - Solução

Condição de existência:

\(\sf{x^2-3x+4>0\to\forall x\in\mathbb{R}\quad(I)}\)

Veja o gráfico abaixo:

Vamos resolver algebricamente a equação:

\(\sf{\log_{5}(x^2-3x+4) = 2}\)

\(\sf{x^2-3x+4=25\to}\)

\(\sf{x^2-3x-21=0\to}\)

\(\sf{x=\dfrac{3\pm\sqrt{93}}{2}}\quad(II)\)

A solução\(\sf{(S)}\) final será a intersecção \(\sf{(I)\,\cap\,(II)}\), ou seja:

\(\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,|\,x=\dfrac{3-\sqrt{93}}{2}\,\,\vee\,\,x=\dfrac{3+\sqrt{93}}{2}\right\}}\)

0874¶

Resolva, em \(\sf{\mathbb{R}}\), a seguinte inequação logarítmica

\(\sf{\log_{3}(x-1) > log_{3}(-x+2)}\)

0874 - Resposta

\(\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,\big|\,\dfrac{3}{2}<x<2\right\}}\)

0874 - Solução

Condição de existência:

\(\sf{x-1>0\to x>1}\) e \(\sf{-x+2>0\to x<2\,\therefore\,1<x<2\,(I)}\)

Resolução:

Como a base três é maior que um, tomamos os logaritmandos mantendo o sinal da desigualdade, assim:

\(\sf{x-1>-x+2\to 2x>3\to x>\dfrac{3}{2}\,(II)}\)

A solução\(\sf{(S)}\) final será a intersecção \(\sf{(I)\cap(II)}\):

\(\sf{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,\big|\,\dfrac{3}{2}<x<2\right\}}\)

0873¶

Resolva, em \(\sf{\mathbb{R}}\), a seguinte equação logarítmica

\(\sf{\log_{2}(x-3) + log_{2}(x+2) = 4}\)

0873 - Solução

Primeiro, podemos combinar os logaritmos usando a propriedade de soma de logaritmos:

\(\sf{\log_2(x−3)+log_2(x+2)=log_2[(x−3)(x+2)]}\)

Em seguida, podemos multiplicar os fatores no expoente da base 2:

\(\sf{\log_2(x−3)(x+2)=log_2(x^2−x−6)}\)

Finalmente, podemos igualar a base 2 aos dois lados da equação:

\(\sf{x^2−x−6=2^4}\)

Resolvendo a equação, encontramos \(\sf{x=5}\) ou \(\sf{x=-1}\). No entanto, o valor \(\sf{x=-1}\) não é válido, pois o logaritmo de um número negativo não é definido. Portanto, a única solução da equação \(\sf{\log_2(x−3)+log_2(x+2)=4}\) é \(\sf{x=5}\).

OBS: A equação acima foi integralmente resolvida através do 'Google Bard' inteligência artificial do Google criado como estratégia ao concorrente ChatGPT.

Observe que a IA resolveu incorretamente a questão, por vários aspectos:

Levou em consideração apenas a equação \(\sf{x^2-x-6=0}\), de onde obteve as raízes 5 e -1;
A partir daí, toda resolução está incorreta, uma vez que essas raízes é que foram testadas, concluindo-se erroneamente a solução final.

Apenas a salientar que as soluções corretas surgem da equação \(\sf{x^2-x-22=0\to x=\dfrac{1 \pm \sqrt{89}}{2}}\) resolvidas através do ChatGPT, acima citado. A primeira solução, \(\sf{x=\dfrac{1+\sqrt{89}}{2}}\), está dentro da condição de existência \(\sf{x > 3}\). No entanto, a segunda solução, \(\sf{x=\dfrac{1-\sqrt{89}}{2}}\), não satisfaz essa condição.

Entretanto, o ChatGPT também havia desconsiderado a condição de existência dos logaritmos apresentados na equação original e, após confrontado com essa minha dúvida, é que ele fez a devida correção. Abaixo, já corrigida, a resolução na íntegra através do ChatGPT:

\(\sf{\log_{2}(x-3) + \log_{2}(x+2) = 4}\)

Aplicando as propriedades dos logaritmos, obtemos:

\(\sf{\log_{2}[(x-3)(x+2)] = 4}\)

Podemos remover o logaritmo aplicando a propriedade inversa dos logaritmos:

\(\sf{2^{4} = (x-3)(x+2)}\)

Simplificando, temos:

\(\sf{16 = x^{2} - x - 6}\)

Agora, vamos resolver a equação quadrática considerando a condição de existência \(\sf{x > 3}\). Colocando todos os termos em um lado da equação, temos:

\(\sf{x^{2} - x - 22 = 0}\)

Usando a fórmula quadrática:

\(\sf{x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}}\),

para os coeficientes: \(\sf{a = 1}\,\,\), \(\,\sf{b = -1}\,\,\) e \(\,\sf{c = -22}\), temos:

\(\sf{x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-22)}}{2\cdot 1}}\to\)

\(\sf{x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+88}}{2}}\,\) ou \(\,\sf{x=\dfrac{1\pm\sqrt{89}}{2}}\)

A primeira solução, \(\sf{x=\dfrac{1+\sqrt{89}}{2}}\), está dentro da condição de existência \(\sf{x>3}\). No entanto, a segunda solução, \(\sf{x=\dfrac{1-\sqrt{89}}{2}}\), não satisfaz essa condição.

Portanto, a solução válida para a equação logarítmica, considerando as condições de existência, é: \(\sf{x = \dfrac{1 + \sqrt{89}}{2}}.\)

Observação Final: A condição de existência foi obtida por mim, pois inicialmente, para existência dos próprios logaritmos formadores da equação, devemos ter: \(\sf{x-3>0}\,\) e \(\sf{x-2>0}\,\), isto é \(\sf{x>3}\). Toda a resolução, portanto, deve levar em consideração essa condição de existência.

0872¶

Classifique em verdadeira\((V)\) ou falsa\((F)\) cada sentença:

a) \(\{c;\,c;\,c;\,d;\,d;\,f;\,f\}=\{c;\,d;\,f\}\)

b) \(\{x\,|\,x^2=9\}\,=\,\{x\,|\,x\neq 0\,\,\,\text{e}\,\,\,x^3-9x=0\}\)

c) \(\{x\,|\,4x-18=-34\}=\{-4\}\)

d) \(\{x\in\mathbb{Z}_{+}\,|\,x<0\,\,\lor\,\,x\geqslant 0\}=\mathbb{N}\)

0872 - Soluções

a) \(\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}\), pois não há diferença em se repetir(ou não) os elementos dentro do mesmo conjunto

Portanto: \(\{c;\,d;\,f\}=\{c;\,d;\,f\}\checkmark\)

b) \(\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}\) e a justificativa está em se resolver as equações, assim:

\(\Rrightarrow\)Do lado esquerdo da igualdade, teremos:

\(x^2=9\to x=\pm\sqrt{9}\to \boxed{x=-3}\quad\) ou \(\boxed{x=3}\)

\(\Rrightarrow\)Do lado direito da igualdade, teremos:

\(x\neq 0\quad\) e

\(x^3-9x=0\to x(x^2-9)=0\to \cancel{x=0}\quad\) ou \(\quad x^2-9=0\to \boxed{x=-3}\quad\) ou \(\quad\boxed{x=3}\)

Portanto: \(\{-3;\,3\}=\{-3;\,3\}\checkmark\)

c) \(\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}\), e a justificativa está em se resolver a equação do lado esquerdo, assim:

\(4x-18=-34\to 4x=-34+18\to 4x=-16\to\boxed{x=-4}\)

Portanto: \(\{-4\}=\{-4\}\checkmark\)

d) \(\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}\), pois \(\mathbb{Z}_{+}=\mathbb{N}\checkmark\)

0871¶

Sendo \(\boldsymbol{\textcolor{#b30047}{A=\{1;\,2\}}}\); \(\boldsymbol{\textcolor{#99003d}{B=\{2;\,3\}}}\); \(\boldsymbol{\textcolor{#800033}{C=\{1;\,3;\,4\}}}\) e \(\boldsymbol{\textcolor{#660029}{D=\{1;\,2;\,3;\,4\}}}\), classifique em verdadeira\((V)\) ou falsa\((F)\) cada sentença:


a) \(\large{A\subset D}\)	c) \(\large{B\subset C}\)	e) \(\large{C=D}\)
b) \(\large{A\subset B}\)	d) \(\large{D\supset B}\)	f) \(\large{A\not\subset C}\)

0871 - Soluções

a) \(\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}\), pois todos os elementos de \(A\) pertencem também a \(D\)

b) \(\textcolor{red}{\text{Falsa}}\), pois \(1\notin B\)

c) \(\textcolor{red}{\text{Falsa}}\), pois \(2\notin C\)

d) \(\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}\), pois todos os elementos de \(B\) pertencem também a \(D\)

e) \(\textcolor{red}{\text{Falsa}}\), pois \(2\notin C\)

f) \(\textcolor{blue}{\text{Verdadeira}}\), \(2\notin C\)

0870¶

Dados \(\boldsymbol{\textcolor{#228B22}{A=\{1;\,2;\,3;\,4\}}}\) e \(\boldsymbol{\textcolor{blue}{B=\{2;\,4\}}}\)

a) Escreva com símbolos as sentenças:


1) \(3\) é elemento de \(A\)	4) \(B\) é igual a \(A\)
2) \(1\) não pertence a \(B\)	5) \(4\) pertence a \(B\)
3) \(B\) está contido em \(A\)	6) \(A\) contém \(B\)

b) Classifique essas sentenças em falsa\((F)\) ou verdadeira\((V)\)

0870 - Soluções


\(\textcolor{violet}{(V)}\,\,\)1) \(3\in\,A\)	\(\textcolor{red}{(F)}\,\,4) B=A\)
\(\textcolor{violet}{(V)}\,\,\)2) \(1\notin\,B\)	\(\textcolor{violet}{(V)}\,\,\)5) \(4\in\,B\)
\(\textcolor{violet}{(V)}\,\,\)3) \(B\subset A\)	\(\textcolor{red}{(V)}\,\,\)6) \(A\supset B\)

0869¶

Determine, justificando, os conjuntos-solução para:

a) \(A=\{x\in\mathbb{N}\,|\,x^2-7=4\}\)

b) \(B=\{x\in\mathbb{Z}_{-}\,|\,x^2-4x-5=0\}\)

c) \(C=\{x\in\mathbb{Q}\,|\,9x^2-4=9\}\)

0869 - Soluções

a) \(x^2-7=4\to x^2=11\to x=-\sqrt{11}\quad\) ou \(\quad x=\sqrt{11}\,\therefore\, A=\{\}\)

Justificativa: O conjunto universo explicitado é dos números naturais. Como nenhuma das soluções é natural, \(A=\varnothing\)

b) \(x^2-4x-5=0\to\) Fórmula Quadrática \(\to\)

\(x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\times 1\times(-5)}}{2\times 1}\to\)

\(x=\dfrac{4\pm\sqrt{36}}{2}\to x=\dfrac{4\pm 6}{2}\to\)

\(x=-1\quad\) ou \(\quad x=5\,\therefore\,B=\{-1;\,5\}\)

Justificativa: O conjunto universo explicitado é dos números inteiros. Como as duas soluções são inteiras, \(B=\{-1;\,5\}\)

c) \(9x^2-4=9\to 9x^2=13\to x^2=\dfrac{13}{9}\to x=\pm\sqrt{\dfrac{13}{9}}\to\)

\(x=-\dfrac{\sqrt{13}}{3}\quad\) ou \(\quad x=\dfrac{\sqrt{13}}{3}\,\therefore\,C=\left\{-\dfrac{\sqrt{13}}{3};\,\dfrac{\sqrt{13}}{3}\right\}\)

Justificativa: O conjunto universo explicitado é dos números racionais. Como as duas soluções são racionais, \(C=\left\{-\dfrac{\sqrt{13}}{3};\,\dfrac{\sqrt{13}}{3}\right\}\)

0868¶

Enumere os seguintes conjuntos caracterizados por propriedade:

a) \(A=\left\{x\in\mathbb{N}\,|\,-4\leqslant x\leqslant 4\right\}\)

b) \(B=\{x\,|\,0\cdot x=5\}\)

c) \(C=\{x\in\mathbb{R}\,|\,x^2=-1\}\)

d) \(D=\{x\in\mathbb{C}\,|\,3x^2+2=-7\}\)

0868 - Soluções

a) \(A=\{0;\,1;\,2;\,3;\,4\}\)

Justificativa: Conforme explicitado, devemos enumerar apenas os números naturais

b) \(B=\varnothing\)

Justificativa: Não há valor numérico que multiplicado por zero, forneça algum outro valor que não seja o próprio zero.

c) \(C=\varnothing\)

Justificativa: Não há valor real, conforme explicitado, cujo quadrado forneça \(-1\). Entretanto, se o conjunto universo fosse os complexos, a solução seria:

\(x^2=-1\to x=\pm\sqrt{-1}\to x=-i\quad\) ou \(\quad x=i\)

d) \(D=\{-i\sqrt{3};\,i\sqrt{3}\}\)

Justificativa: Conforme o conjunto universo explicitado, podemos resolver essa equação, cujas soluções são números complexos; assim:

\(3x^2+2=-7\to 3x^2=-9\to x^2=-3\to x=\pm\sqrt{-3}\to\)

\(x=\pm\sqrt{-1}\cdot\sqrt{3}\to x=-i\sqrt{3}\quad\) ou \(\quad x=i\sqrt{3}\)

0867¶

Caracterize por meio de uma propriedade, os seguintes conjuntos enumerados:

a) \(A=\{\pm 1;\,\pm 2;\,\pm 3;\,\pm 4;\,\pm 6;\,\pm 12\}\)

b) \(B=\{0;\,-15;\,-30;\,-45;\,-60;\,\ldots\}\)

c) \(C=\{1;\,4;\,9;\,16;\,25;\,36;\,49;\,64;\,81;\,100\}\)

0867 - Soluções

a) \(A=\{x\,|\,x\,\)é divisor de \(12\}\)

b) \(B=\{x\,|\,x\,\)é múltiplo inteiro e negativo de \(10\}\)

c) \(C=\{x\,|\,x\,\)é quadrado de um inteiro\(\}\)

0866¶

Enumere os seguintes conjuntos:

a) O conjunto\((A)\) dos múltiplos inteiros de 3, entre -13 e +13

b) O conjunto\((B)\) dos divisores inteiros de 42

c) O conjunto\((C)\) das frações com numerador e denominador inteiros, compreendidos entre 0(zero) e 4(quatro), exceto estes.

0866 - Soluções

a) \(A=\{-12;\,-9;\,-6;\,-3;\,0;\,3;\,6;\,9;\,12\}\)

b) \(B=\{-1;\,1;\,-2;\,2;\,-3;\,3;\,-6;\,6;\,-7;\,7;\,-14;\,14;\,-21;\,21;-42;\,42\}\)

c) \(C=\left\{\dfrac{1}{1};\,\dfrac{1}{2};\,\dfrac{1}{3};\,\dfrac{2}{1};\,\dfrac{2}{2};\,\dfrac{2}{3};\,\dfrac{3}{1};\,\dfrac{3}{2};\,\dfrac{3}{3}\right\}\)

0865¶

Caracterize os seguintes conjuntos enumerados:

a) \(A=\{0;\,2;\,4;\,6;\,8;\ldots\}\)

b) \(B=\{0;\,1;\,2;\,3;\ldots\}\)

0865 - Soluções

a) \(A=\{x\,|\,x\,\)é um número inteiro, não negativo e par\(\}\)

b) Respostas possíveis:

\(B=\{x\,|\,x\,\) é um número natural\(\}\); ou

\(B=\{x\,|\,x\,\) é um número inteiro e não negativo\(\}\)

0864¶

Enumere os elementos dos conjuntos:

a) \(A=\{x\,|\,x\,\text{é letra da palavra "professorlopes"}\}\)

b) \(B=\{x\,|\,x\,\text{é cor da bandeira brasileira}\}\)

c) \(C=\{x\,|\,x\,\text{é número primo positivo}\}\)

0864 - Solução

a) \(A=\{p;\,r;\,o;\,f;\,e;\,s;\,l\}\)

b) \(B=\{\)verde, amarelo, azul, branco\(\}\)

c) \(C=\{2;\,3;\,5;\,7;\,11;\,13;\,17;\ldots\}\)

0863¶

Determine:

a) \(A=\{x\,|\,x\neq x\}\)

b) \(B=\{x\,|\,x\,\text{é impar e múltiplo de }2\}\)

c) \(C=\{x\,|\,x>0\,\text{e}\,x<0\}\)

0863 - Soluções

a) \(A=\{\}\)

b) \(B=\varnothing\)

c) \(C=\{\}\)

0862¶

Represente, caracterizando, o conjunto\((I)\) dos divisores positivos de 50(cincoenta).

0862 - Solução

Caracterizando: \(I=\{x\in\mathbb{Z}_{+}^{*}\,|\,x=1\,ou\,x=5\,ou\,x=10\,ou\,x=25\,ou\,x=50\}\)

0861¶

Represente, caracterizando, o conjunto\((H)\) dos números inteiros de 0(zero) a 2021(dois mil e vinte e um).

0861 - Solução

Caracterizando: \(H=\{x\in\mathbb{Z}\,|\,0\leqslant x\leqslant2021\}\)

0860¶

Represente o conjunto\((G)\) dos múltiplos positivos de 3(três), menores que vinte e três, em todas as formas de representá-lo.

0860 - Solução

Enumeração: \(G=\{3;\,6;\,9;\,12;\,15;\,18;\,21\}\)

Caracterização: \(G=\{x\in\mathbb{Z}_{+}^{*}\,|\,x=3\,ou\,x=6\,ou\,x=9\,ou\,x=12\,ou\,x=15\,ou\,x=18\,ou\,x=21\}\)

Diagramação:

Múltiplos de Números Inteiros

\(\Rrightarrow\)Definição:

Múltiplos de um número inteiro são todos os números inteiros que se obtêm quando multiplicamos esse número inteiro por um número\((n)\) natural, isto é \(n\in\mathbb{N}\).

\(\Rrightarrow\)Exemplos:

1) Múltiplos\(\bold{(M)}\) de 2(dois): \(\boldsymbol{M(2)=\{0;2;4;6;\ldots}\}\)

2) Múltiplos\(\bold{(M)}\) de 3(três): \(\boldsymbol{M(3)=\{0;3;6;9;12;\ldots\}}\)

\(\Rrightarrow\)Observações:

I) 0(zero) é múltiplo de qualquer número(inteiro ou não)

II) Qualquer número(inteiro ou não) é múltiplo de si próprio.

III) Ao contrário do conjunto dos divisores de um número inteiro, que é finito, o conjunto dos múltiplos de um número(inteiro ou não) é sempre infinito, exceto quando houver alguma restrição explícita e/ou limitante.

0859¶

Represente o conjunto\((F)\) dos números ímpares positivos e menores que vinte e um, em todas as formas de representá-lo.

0859 - Solução

Enumeração: \(F=\{1;\,3;\,5;\,7;\,9;\,11;\,13;\,15;\,17;\,19\}\)

Caracterização: \(F=\{x\in\mathbb{Z}_{+}^{*}\,|\,x=1\,ou\,x=3\,ou\,x=5\,ou\,x=7\)
\(ou\,x=9\,ou\,x=11\,ou\,x=13\,ou\,x=15\,ou\,x=17\,ou\,x=19\}\)

Diagramação:

0858¶

Represente o conjunto\((E)\) dos algarismos romanos em todas as formas de representá-lo.

0858 - Solução

Enumeração: \(E=\{I;\,V;\,X;\,L;\,C;\,D;\,M\}\)

Caracterização: \(E=\{x\,|\,x\,\)é um algarismo romano\(\}\)

Diagramação:

0857¶

Represente o conjunto\((D)\) das vogais em todas as formas de representá-lo.

0857 - Solução

Enumeração: \(D=\{\)a, e, i, o, u\(\}\)

Caracterização: \(D=\{x\,|\,x\,\)é uma vogal\(\}\)

Diagramação:

0856¶

Represente o conjunto caracterizado por \(C=\{x\,|\,x\,\text{é inteiro e }\,0\leqslant x\leqslant 8\}\), em todas as outras formas de representá-lo.

0856 - Solução

Enumeração: \(C=\{0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8\}\)

Diagramação:

0855¶

Represente o conjunto\((B)\) composto pelos estados da região sudeste do Brasil, em todas as formas de representá-los(ou descrevê-los).

0855 - Solução

Enumeração: \(B=\{\)Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro, São Paulo\(\}\)

Caracterização: \(B=\{x\,|\,x\,\)é um estado da região sudeste do Brasil\(\}\)

Diagramação:

0854¶

Represente o conjunto\((A)\) composto pelos dias da semana, em todas as formas de representá-los(ou descrevê-los).

0854 - Solução

Enumeração: \(A=\{\)Domingo, Segunda, Terça, Quarta, Quinta, Sexta, Sábado\(\}\)

Caracterização: \(A=\{x\,|\,x\,\)é um dia da semana\(\}\)

Diagramação:

Representando um conjunto

Há vários recursos para representar ou descrever um conjunto. Podemos:

Enumerá-los: escrevendo ou listando os elementos do conjunto dado. Exemplos:
- \(A=\{ 0;1;2;3;4;\ldots\}\); \(\quad B=\{2;4;6;\ldots;2021\}\) \(\quad \textrm{e}\) \(\quad C=\{a;e;i;o;u\}\)
Caracterizá-los: descrevendo um conjunto por meio de uma propriedade característica. Acompanhe um exemplo completo, a partir de um conjunto mais amplo, chamado universo\((\mathbb{U})\):
- Conjunto universo\((\mathbb{U})\): números inteiros não negativos;
- Propriedade característica: \(0 \leq x \leq 2021\);
- Conjunto enumerado: \(A=\{0;1;\ldots;2020;2021\}\);
- Conjunto caracterizado: \(\displaystyle{A=\{x\in\mathbb{Z_{+}}\, |\, 0 \leq x \leq 2021 \}}\)
Diagramá-los: representando um conjunto por um diagrama para facilitar a visualização dos seus elementos e de suas características. Os elementos desse conjunto são representados por pontos internos a uma linha fechada. Esses modelos são conhecidos como diagramas de Euler¹ ou de Venn² e estão presentes na obra Cartas a uma princesa da Alemanha escrita por Euler, por volta de 1770. Veja, no exemplo a seguir, que os conjuntos \(A=\{1;2;3;4;5\} \quad \textrm{e} \quad B=\{a;b;c\}\) podem ser representados como:

0853¶

Na figura abaixo, cada um dos quatro círculos maiores é tangente a dois lados do quadrado \(EFGH\), cujos lados medem \(2cm\), e a dois outros círculos maiores. O círculo menor é tangente aos quatro círculos maiores.

a) Qual é a medida do raio(\(r\)) de cada círculo maior?

b) O quadrilátero \(C_1C_2C_3C_4\), com vértices nos centros dos círculos maiores, é um quadrado. Qual é a medida do lado \(C_1C_2\) desse quadrado?

c) Calcule o comprimento da diagonal(\(d\)) do quadrado \(C_1C_2C_3C_4\).

d) Encontre a medida do raio(\(r_1\)) do círculo menor.

0853 - Respostas

a) \(r=0,5\) cm

b) \(C_1C_2=1\) cm

c) \(d=\sqrt{2}\) cm

d) \(r_1=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\) cm

0853 - Soluções

Inicialmente vamos analisar a figura a seguir com os elementos acrescidos, a fim de compreender melhor as soluções:

a) Veja que o segmento \(\overline{EF}=2cm\) corresponde a quatro raios(\(r\)) ou seja, cada \(r=0,5cm\) que é o raio de cada círculo maior.

b) Veja que o lado \(C_1C_2\) corresponde a dois raios(\(r\)) ou seja, \(C_1C_2=1cm\). Observe que esse também é o valor dos outros três lados do quadrado \(C_1C_2C_3C_4\).

c) Veja que o quadrado \(C_1C_2C_3C_4\) é formado por dois triângulos retângulos \(\Delta C_1C_2C_3\,\,\) e \(\,\,\Delta C_1C_3C_4\) ambos obtidos a partir da diagonal \(d\), que é hipotenusa comum aos dois triângulos retângulos. Vamos escolher o triângulo retângulo \(\Delta C_1C_2C_3\), aplicar o Teorema de Pitágoras e obter a diagonal \(d\); assim:

\(d^2=\left(C_1C_2\right)^2+\left(C_2C_3\right)^2\to\)

\(d^2=1^2+1^2\to\boxed{d=\sqrt{2}\,\,cm}\)

d) Veja que a metade da diagonal \(d\) corresponde à soma dos raios \(r_2=r=0,5cm\) e \(r_1\), raio este, pertencente ao círculo menor, o qual, vamos obter:

\(\dfrac{d}{2}=r_2+r_1\to\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{2}+r_1\to\)

\(r_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\to\boxed{r_1=\dfrac{\sqrt{2}-1}{2}\,\,cm}\)

0852¶

Sendo \(\vec{v}\) e \(\vec{u}\) vetores tais que \(|\vec{v}|=10\), \(|\vec{u}|=16\) e \(|\vec{u}-\vec{v}|=14\), determine o ângulo entre \(\vec{u}\) e \(\vec{v}\).

0852 - Resposta

\(\alpha=60^{\circ}\)

0852 - Solução

O que se pede é o ângulo \(D\hat{C}E\) ou \(\alpha\) que indica a inclinação do vetor \(\vec{v}\) em relação ao vetor \(\vec{u}\). Entretanto, faltam dados para isso, então, verificamos que o mesmo ângulo \(\alpha\), oposto pelo vértice \(C\), pode ser visto(e calculado) através do triângulo \(\Delta ABC.\) Para isso, vamos utilizar a lei dos cossenos; observando a imagem abaixo e a solução a seguir:

\(14^2=10^2+16^2-2\times 10\times 16\times\cos(\alpha)\to\)

\(196=100+256-320\cos(\alpha)\to\)

\(320\cos(\alpha)=160\to\cos(\alpha)=0,5\to\boxed{\alpha=60^{\circ}}\,\,\checkmark\)

0851¶

Resolva as seguintes equações exponenciais:


a) \(\left(2^x\right)^{x+4}=32\)	f) \(\dfrac{3^{x+2}\cdot 9^x}{243^{5x+1}}=\dfrac{81^{2x}}{27^{3-4x}}\)
b) \(\left(9^{x+1}\right)^{x-1}=3^{x^2+x+4}\)	g) \(\sqrt[x+4]{2^{3x-8}}=2^{x-5}\)
c) \(2^{3x-1}\cdot 4^{2x+3}=8^{3-x}\)	h) \(8^{3x}=\sqrt[3]{32^x}:4^{x-1}\)
d) \(\left(3^{2x-7}\right)^3:9^{x+1}=\left(3^{3x-1}\right)^4\)	i) \(\sqrt[x-1]{\sqrt[3]{2^{3x-1}}}-\sqrt[3x-7]{8^{x-3}}=0\)
e) \(2^{3x+2}:8^{2x-7}=4^{x-1}\)	j) \(\sqrt{8^{x-1}}\cdot\sqrt[x+1]{4^{2x-3}}=\sqrt[6]{2^{5x+3}}\)

0851 - Soluções

a)

\(\left(2^x\right)^{x+4}=32\to \cancel{2}^{x^2+4x}=\cancel{2}^5\to x^2+4x=5\to\)

\(\overbrace{x^2+4x-5=0}^{\text{Fórmula Quadrática}}\to x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot(-5)}}{2\cdot 1}\to\)

\(\dfrac{-4\pm\sqrt{36}}{2}\to x=\dfrac{-4\pm 6}{2}\to \boxed{x=-5}\,\,\) ou \(\,\,\boxed{x=1}\)

Observe as soluções gráficas da equação equivalente \(\boldsymbol{x^2+4x-5=0}\):

b)

\(\left(9^{x+1}\right)^{x-1}=3^{x^2+x+4}\to 9^{x^2-1}=3^{x^2+x+4}\to\)

\(\cancel{3}^{2x^2-2}=\cancel{3}^{x^2+x+4}\to 2x^2-2=x^2+x+4\to\)

\(\overbrace{x^2-x-6=0}^{\text{Fórmula Quadrática}}\to x=\dfrac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 1\cdot(-6)}}{2\cdot 1}\to\)

\(x=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2}\to x=\dfrac{1\pm 5}{2}\to\boxed{x=-2}\,\,\) ou \(\,\,\boxed{x=3}\)

Observe as soluções gráficas da equação equivalente \(\boldsymbol{x^2-x-6=0}\):

c)

\(2^{3x-1}\cdot 4^{2x+3}=8^{3-x}\to 2^{3x-1}\cdot 2^{4x+6}=2^{9-3x}\to\)

\(\cancel{2}^{3x-1+4x+6}=\cancel{2}^{9-3x}\to 3x-1+4x+6=9-3x\to\)

\(3x+4x+3x=9-6+1\to 10x-4=0\to\boxed{x=\dfrac{2}{5}}\)

Observe a solução gráfica da equação equivalente \(\boldsymbol{10x-4=0}\):

d)

\(\left(3^{2x-7}\right)^3:9^{x+1}=\left(3^{3x-1}\right)^4\to\dfrac{3^{6x-21}}{3^{2x+2}}=3^{12x-4}\to\)

\(\cancel{3}^{6x-21-2x-2}=\cancel{3}^{12x-4}\to 4x-23=12x-4\to\)

\(12x-4x=-23+4\to 8x+19=0\to\boxed{x=-\dfrac{19}{8}}\)

Observe a solução gráfica da equação equivalente \(\boldsymbol{8x+19=0}\):

e)

\(2^{3x+2}:8^{2x-7}=4^{x-1}\to\dfrac{2^{3x+2}}{2^{6x-21}}=2^{2x-2}\to\)

\(\cancel{2}^{3x+2-6x+21}=\cancel{2}^{2x-2}\to-3x+23=2x-2\to\)

\(2x+3x=23+2\to 5x-25=0\to\boxed{x=5}\)

Observe a solução gráfica da equação equivalente \(\boldsymbol{5x-25=0}\):

f)

\(\dfrac{3^{x+2}\cdot 9^x}{243^{5x+1}}=\dfrac{81^{2x}}{27^{3-4x}}\to\dfrac{3^{x+2}\cdot3^{2x}}{3^{25x+5}}=\dfrac{3^{8x}}{3^{9-12x}}\to\)

\(\cancel{3}^{x+2+2x-25x-5}=\cancel{3}^{8x-9+12x}\to-22x-3=20x-9\to\)

\(20x+22x=-3+9\to 42x-6=0\to\boxed{x=\dfrac{1}{7}}\)

Observe a solução gráfica da equação equivalente \(\boldsymbol{42x-6=0}\):

g)

\(\sqrt[x+4]{2^{3x-8}}=2^{x-5}\to \cancel{2}^{\frac{3x-8}{x+4}}=\cancel{2}^{x-5}\to\)

\(\dfrac{3x-8}{x+4}=x-5\to x^2-x-20=3x-8\to\)

\(\overbrace{x^2-4x-12=0}^{\text{Fórmula Quadrática}}\to x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2}-4\cdot 1\cdot(-12)}{2\cdot 1}\to\)

\(x=\dfrac{4\pm\sqrt{64}}{2}\to x=\dfrac{4\pm 8}{2}\to\boxed{x=-2}\,\,\) ou \(\,\,\boxed{x=6}\)

Observação: Do estudo dos polinômios, em especial do segundo grau, temos uma estrutura de decomposição, que funciona apenas se \(a=1\) e que é a seguinte:

Para \(1x^2-Sx+P=0\) teremos: \(S=x_{1}+x_{2}\,\,\) e \(\,\,P=x_{1}\cdot x_{2}\)

onde \(x_{1}\,\,\) e \(\,\,x_{2}\) são os zeros dessa função ou as raízes dessa equação.

Aqui, ficamos tentados, até porque parece mais fácil, "chutarmos" dois valores(duas raízes) cuja soma\((S)\) seja, no caso, \(-4\), isto é, \(-2\,\,\) e \(\,\,6\); e cujo produto\((P)\) seja, no caso, \(-12\), isto é, \(-2\,\,\) e \(\,\,6\).

Podemos utilizar esse método? Sim, sem problemas, desde que saibamos a origem de tal decomposição, senão, corremos o risco de "decorarmos" mais uma fórmula que servirá especificamente para o caso acima, ou seja, para equações do segundo grau com \(a=1.\) Ora, então basta "decorarmos" uma única fórmula: a fórmula quadrática(ou fórmula de Bhaskara) que serve para resolver todas as equações do segundo grau.

Observe as soluções gráficas da equação equivalente \(\boldsymbol{x^2-4x-12=0}\):

h)

\(8^{3x}=\sqrt[3]{32^x}:4^{x-1}\to2^{9x}=2^{\frac{5x}{3}}:2^{2x-2}\to\)

\(\cancel{2}^{9x}=\cancel{2}^{\frac{5x}{3}-2x+2}\to 9x+2x-\dfrac{5x}{3}=2\to\)

\(27x+6x-5x=6\to 28x-6=0\to\boxed{x=\dfrac{3}{14}}\)

Observe a solução gráfica da equação equivalente \(\boldsymbol{28x-6=0}\):

i)

\(\sqrt[x-1]{\sqrt[3]{2^{3x-1}}}-\sqrt[3x-7]{8^{x-3}}=0\to\cancel{2}^{\frac{3x-1}{3x-3}}=\cancel{2}^{\frac{3x-9}{3x-7}}\to\)

\(\dfrac{3x-1}{3x-3}=\dfrac{3x-9}{3x-7}\to(3x-1)(3x-7)=(3x-3)(3x-9)\to\)

\(\cancel{9x^2}-24x+7=\cancel{9x^2}-36x+27\to 12x-20=0\to\boxed{x=\dfrac{5}{3}}\)

Observe a solução gráfica da equação equivalente \(\boldsymbol{12x-20=0}\):

Observe, ainda, essa equação(e seu código inserido) em WolframAlpha, cuja solução é \(\dfrac{5}{3}\) ou \(1,\overline{6}\):

Retificação:

Conceito de Radiciação: Sendo \(a\) e \(b\) números reais com \(\geqslant 0\), \(b\geqslant 0\), \(\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}\), teremos \(\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a\)

Dessa forma, ao utilizarmos o valor encontrado \(\dfrac{5}{3}\) aos radicais da questão original, teremos

vários índices não naturais, mais especificamente fracionários, daí não podermos ter

esse valor como solução final. Portanto, retificando: \(\boxed{S=\varnothing}\checkmark\)

j)

\(\sqrt{8^{x-1}}\cdot\sqrt[x+1]{4^{2x-3}}=\sqrt[6]{2^{5x+3}}\to\cancel{2}^{\frac{3x-3}{2}}\cdot\cancel{2}^{\frac{4x-6}{x+1}}=\cancel{2}^{\frac{5x+3}{6}}\to\)

\(\dfrac{3x-3}{2}+\dfrac{4x-6}{x+1}=\dfrac{5x+3}{6}\to\)

Para MMC\((2;\,\,x+1;\,\,6)=6(x+1)\,\,\) e \(\,\,x\neq-1\), teremos:

\(\dfrac{3(x+1)(3x-3)+6(4x-6)=(x+1)(5x+3)}{\cancel{6(x+1)}}\to\)

\(9x^2-9+24x-36=5x^2+8x+3\to 4x^2+16x-48=0\,(\div 4)\to\)

\(\underbrace{x^2+4x-12=0}_{\text{Fórmula Quadrática}}\to x=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot(-12)}}{2\cdot 1}\to\)

\(x=\dfrac{-4\pm\sqrt{64}}{2}\to x=\dfrac{-4\pm 8}{2}\to\boxed{x=-6}\,\,\) ou \(\,\,\boxed{x=2}\)

Observe as soluções gráficas da equação equivalente \(\boldsymbol{x^2+4x-12=0}\):

Observe, ainda, essa equação(e seu código inserido) em WolframAlpha, cujas soluções são \(-6\) ou \(2\):

Retificação:

Conceito de Radiciação: Sendo \(a\) e \(b\) números reais com \(\geqslant 0\), \(b\geqslant 0\), \(\boldsymbol{n\in\mathbb{N}}\), teremos \(\sqrt[n]{a}=b\Leftrightarrow b^n=a\)

Dessa forma, ao utilizarmos o valor encontrado \(-6\) aos radicais da questão original, teremos

vários índices não naturais, mais especificamente negativos, daí não podermos ter

esse valor como solução final. Portanto, retificando: \(\boxed{S=\{2\}}\checkmark\)

Leonhard Euler (1707-1783), matemático suíço, responsável por muitas notações matemáticas que são utilizadas até hoje. ↩
John Venn (1834-1923), matemático inglês que propôs uma nova forma de diagramas em sua obra Lógica Simbólica. ↩