Irracionais e Geometria
Dois exemplos geométricos da existência dos números irracionais
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01)Na diagonal de um quadrado unitário
A diagonal divide esse quadrado unitário ao meio, ou seja, cada parte tem área igual a \(\sf{0,5}\)(meio). Vamos considerar quatro quadrados unitários dispostos como na imagem abaixo, de modo que, calculando a medida do lado do quadrado vermelho, tem-se a medida da diagonal do quadrado inicial:
Área do quadrado vermelho é \(\sf{4\cdot 0,5=2}\). Então \(\sf{x^2=2\Rightarrow x=\sqrt{2}}\). Portanto, a diagonal do quadrado unitário mede \(\sf{\sqrt{2}}\).
02)Na diagonal de um retângulo dois por um
A diagonal divide esse retângulo ao meio, ou seja, cada parte tem área igual a um. Vmos considerar quatro retângulos e mais um quadrado unitário dispostos como na figura abaixo:
A área do quadrado vermelho é igual à área do quadrado de lado três subtraindo a área dos quatro cantos, que têm cada um, área um. Então \(\sf{x^2=9-4\cdot 1\Rightarrow x=\sqrt{5}}\). Portanto a diagonal do retângulo de dimensões dois por um mede \(\sf{\sqrt{5}}\).
Os números \(\sf{\sqrt{2}}\) e \(\sf{\sqrt{5}}\) são exemplos de números irracionais. Assim como quaisquer outros números reais, todos eles podem ser representados como pontos em uma reta numérica e, assim, todo ponto dessa reta numérica corresponde a um número real.