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Há vários métodos disponíveis para a resolução desse sistema, mas vamos escolher o método da substituição por parecer mais simples, rápido e eficiente.

Assim, vamos escolher isolar, na segunda equação, a incógnita \(\sf{\bold{y}}\); posteriormente vamos substituir a expressão encontrada na primeira equação:

Da segunda equação \(\sf{\bold{y=x^2}}\) será substituída na primeira equação e teremos:

\(\sf{\bold{x-2x^2=-6\to 2x^2-x-6=0\to\ldots\to x=-\dfrac{3}{2}\quad\text{ou}\quad x=2\,\,\checkmark}}\)

Aplicando, na primeira equação, os valores encontrados, encontraremos os respectivos valores de \(\sf{\bold{y}}:\)

Para \(\sf{\bold{x=-\dfrac{3}{2}\to -\dfrac{3}{2}-2y=-6\to 4y=15\to y=\dfrac{15}{4}\to\,\,\left(-\dfrac{3}{2};\,\dfrac{15}{4}\right)\,\,\checkmark}}\)

Para \(\sf{\bold{x=2\to 2-2y=-6\to 2y=8\to y=4\to\,\,(2;\,4)\,\,\checkmark}}\)

Observação: O sistema é classificado como não linear pois analisa a posição relativa entre uma reta e uma parábola. Sistemas lineares são aqueles que analisam a posição relativa entre várias retas, e somente retas.

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim: \(\sf{\bold{\cos(\theta)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}\)

No ciclo trigonométrico teremos os valores de solução nos segundo e terceiro quadrantes, os valores respectivos, em graus, de: \(\sf{\bold{-135^{\circ}}}\quad\) e \(\quad\sf{\bold{135^{\circ}}}.\)

Entretanto as respostas mais comuns são firmadas em radianos, por isso os valores respectivos de \(\sf{\bold{-\dfrac{3\pi}{4}}}\quad\) ou \(\quad\sf{\bold{\dfrac{3\pi}{4}}}\). Como as soluções devem ser quaisquer valores reais, devemos levar em consideração que esses valores se repitam a cada volta(positiva ou negativa) no ciclo.

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

(1).Condição de Existência: \(\sf{\bold{8x>0\to x>0\quad\text{e}\quad x+2>0\to x>-2\quad \therefore\quad x>0}}\)

(2).Utilizando as propriedades dos logaritmos, teremos:

\(\quad\sf{\bold{\dfrac{8x}{x+2}=2\to 8x-2(x+2)=0\to 6x=4\to\quad x=\dfrac{2}{3}}}\,\,\checkmark\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

(1).Condição de Existência: \(\,\,\,\sf{\bold{\left\{\begin{array}{ll}x>0&\\\text{e}&\\x+2>0\to x>-2&\\\text{e}&\\x+6>0\to x>-6&\end{array}\right.\quad \therefore\quad x>0}}\)

(2).Aplicando as propriedades dos logaritmos, teremos:

\(\quad\quad\sf{\bold{x(x+2)=x+6\to x^2+x-6=0\to\ldots\,\,\to\cancel{x=-3}\quad\text{ou}\quad x=2}}\)

De (1) e (2), teremos que a solução é \(\sf{\bold{x=2}}\,\,\checkmark\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

\(\sf{\bold{5^x-23=0\to x=\log_{5}{23}}}\,\,\checkmark\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

\(\sf{\bold{8^x=32^{x-1}\to 2^{3x}=2^{5x-5}\to 3x=5x-5\to-2x=-5\to x=\dfrac{5}{2}}}\,\,\checkmark\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim: \(\sf{\bold{\dfrac{-4x^2+1}{x^2+x-2}=0}}\)

(1).Condição de Existência: O denominador deve ser diferente de zero, assim:

\(\quad\quad\sf{\bold{x^2+x-2\neq 0\to\cdots\to x\neq-2\,\,\text{ou}\,\,x\neq 1}};\)

(2).\(\sf{\bold{-4x^2+1=0\to x^2=\dfrac{1}{4}\to x=-\dfrac{1}{2}\,\,\text{ou}\,\,x=\dfrac{1}{2}}}\)

Analisando (1) e (2), teremos que as soluções serão \(\sf{\bold{x=-\dfrac{1}{2}\,\,\text{ou}\,\,x=\dfrac{1}{2}}}\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

\(\sf{\bold{x^3+2x^2+4x+8=0\to x^2(x+2)+4(x+2)=0\to (x^2+4)(x+2)=0\to}}\)

\(\sf{\bold{x^2+4=0\to x=-2i\,\,\text{ou}\,\,x=2i}}\,\,\checkmark\)

\(\sf{\bold{x+2=0\to x=-2}}\,\,\checkmark\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; neste caso, duas possibilidades:

\(|x-4|=3\to\left\{\begin{array}{lcr}x-4=-3 & \to & x=1\\\text{ou}\\x-4=3 & \to & x=7\end{array}\right.\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

(1).Condição de Existência: O denominador deve ser diferente de zero, assim: \(\sf{\bold{x+3\neq 0\to x\neq-3}};\)

(2).\(\sf{\bold{2x^2-18=0\to x=\pm 3\to x=3}}\) apenas é a solução, pois \(\sf{\bold{x\neq-3}}.\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

(1).Condição de Existência: \(\sf{\bold{5-2x\geqslant 0\to x\leqslant\dfrac{5}{2}}}\,\,\checkmark\)

(2).\(\sf{\bold{(\sqrt{5-2x})^2=0^2\to 5-2x=0\to x=\dfrac{5}{2}}}\,\,\checkmark\)

De (1)\(\sf{\cap}\)(2), deduzimos que a solução é \(\sf{\bold{x=\dfrac{5}{2}}}\).

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

\(\sf{\bold{x^3+6=0\to x=\sqrt[3]{-6}}}\,\,\checkmark\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

\(\sf{\bold{-16x^2+128=0\to x=\pm\sqrt{8}\to x=-2\sqrt{2}\,\,\checkmark}}\quad\) ou \(\sf{\bold{x=2\sqrt{2}\,\,\checkmark}}\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

\(\sf{\bold{2x^2+1=0\to x=\pm\sqrt{-\dfrac{1}{2}}\to x=-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}\,\,\checkmark\quad\) ou \(\sf{\quad\bold{x=i\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}\,\,\checkmark\)

Para obtermos o(s) zero(s) de uma função, basta-nos zerar a imagem, ou seja, \(\sf{\bold{f(x)=0}}\) e calcular o(s) valor(es) do domínio que respondem a equação surgente; assim:

\(\sf{\bold{-3x+4=0\to x=\dfrac{4}{3}}}\)

\(\sf{f[-(a+2)]=3\cdot[-(a+2)]^2-2\cdot[-(a+2)]}\to\)

\(\sf{f[-(a+2)]=3\cdot(a^2+4a+4)-2(a^2+4a+4)}\to\)

\(\sf{f[-(a+2)]=3a^2+12a+12-2a^2-8a-8}\to\)

\(\sf{f[-(a+2)]=a^2+4a+4}\,\,\checkmark\)

Vamos calcular separadamente; após, substituiremos os valores encontrado na expressão; assim:

\(\sf{g(-3)=(-3)^{2}-2=7}\);

\(\sf{g(-1)=|-1+3|=2}\);

\(\sf{g(1)=|1+3|=4}\);

\(\sf{g(3)=3\cdot(3)^2+2\cdot 3=33}\).

Substituindo na expressão,

\(\sf{g(-3)-g(-1)+g(1)+g(3)=7-2+4+33=\bold{42}}\,\,\checkmark\)

\(\sf{f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-2^{\left[-2\cdot\left(-\frac12\right)-4\right]}=-2^{(-3)}=-\dfrac{1}{8}}\,\,\checkmark\)

1.Calculando \(\sf{g(-2)=|3\cdot(-2)^2-2\cdot(-2)|-4}\to\sf{g(-2)=12}\,\,\checkmark\)

2.Calculando \(\sf{g(g(-2))=g(12)=|3\cdot(12)^2-2\cdot(12)|-4}\to\sf{g(g(-2))=404}\,\,\checkmark\)

\(\sf{f(-3)=5(-3)^4-4(-3)^3+3(-3)^2-2(-3)+1}\to\)

\(\sf{f(-3)=5\cdot 81-4\cdot(-27)+3\cdot(9)-2\cdot(-3)+1}\to\)

\(\sf{f(-3)=405+108+27+6+1}\to\sf{f(-3)=547}\,\,\checkmark\)

a) \(\sf{\dfrac{5}{1+\sqrt{2}}\times\dfrac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=5(\sqrt{2}-1)}\,\,\checkmark\)

b) \(\sf{\dfrac{12}{3-\sqrt{3}}\times\dfrac{3+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\dfrac{\cancel{12}(3+\sqrt{3})}{\cancel{6}}=2(3+\sqrt{3})}\,\,\checkmark\)

c) \(\sf{\dfrac{8}{\sqrt{5}+3}\times\dfrac{\sqrt{5}-3}{\sqrt{5}-3}=\dfrac{\cancel{8}(\sqrt{5}-3)}{-\cancel{4}}=2(3-\sqrt{5})}\,\,\checkmark\)

d) \(\sf{\bold{\dfrac{\sqrt{6}}{4+\sqrt{10}}}\times\dfrac{4-\sqrt{10}}{4-\sqrt{10}}=\dfrac{\cancel{2}(2\sqrt{6-}\sqrt{15})}{\cancel{6}}=\dfrac{2\sqrt{6}-\sqrt{15}}{3}}\,\,\checkmark\)

e) \(\small{\sf{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{10}}{\sqrt{2}+\sqrt{5}}\times\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{12}-\sqrt{30}-\sqrt{20}+\sqrt{50}}{-3}=\dfrac{2\sqrt{3}-\sqrt{30}-2\sqrt{5}+5\sqrt{2}}{-3}}}\,\,\checkmark\)

f) \(\sf{\dfrac{\sqrt{14}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}\times\dfrac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{98}+\sqrt{42}-\sqrt{21}-3}{4}=\dfrac{7\sqrt{2}+\sqrt{42}-\sqrt{21}-3}{4}}\,\,\checkmark\)

Condição de Existência(CE) final será: \(\sf{-6\leqslant x\leqslant\dfrac{11}{5}}\), observe:

a) \(\sf{11-5x\geqslant 0}\to\sf{x\leqslant\dfrac{11}{5}}\) e

b) \(\sf{x+6\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant-6}\)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados:

\(\sf{\left(\sqrt{11-5x}\right)^2=\left(7-\sqrt{x+6}\right)^2}\to\)

\(\sf{11-5x=49-14\sqrt{x+6}+x+6}\to\sf{3x+22=7\sqrt{x+6}}\);

Novamente, vamos elevar ambos os lados:

\(\sf{(3x+22)^2=\left(7\sqrt{x+6}\right)^2}\to\sf{9x^2+83x+190=0}\to\sf{x=-5}\quad\) ou \(\quad\sf{x=-\dfrac{38}{9}}\)

Observe que, dentro da condição de existência, ambos os valores são soluções.

Condição de Existência(CE) final será: \(\sf{x\geqslant-\dfrac{3}{2}}\), observe:

a) \(\sf{2x+3\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant-\dfrac{3}{2}}\) e

b) \(\sf{x+1\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant-1}\)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados:

\(\sf{\left(\sqrt{2x+3}\right)^2=\left(1+\sqrt{x+1}\right)^2}\to\)

\(\sf{2x+3=1+2\sqrt{x+1}+x+1}\to\sf{x+1=2\sqrt{x+1}}\);

Novamente, vamos elevar ambos os lados:

\(\sf{(x+1)^2=\left(2\sqrt{x+1}\right)^2}\to\sf{x^2-2x-3=0}\to\sf{x=-1}\quad\) ou \(\quad\sf{x=3}\)

Observe que, dentro da condição de existência, ambos os valores são soluções.

Condição de Existência(CE) final será: \(\sf{x\geqslant-\dfrac{10}{3}}\), observe:

a) \(\sf{3x+10\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant-\dfrac{10}{3}}\) e

b) \(\sf{x+4\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant-4}\)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados: \(\sf{\left(\sqrt{3x+10}\right)^2=(x+4)^2}\to\)

\(\sf{3x+10=x^2+8x+16}\to\sf{x^2+5x+6}\to\cdots\to\sf{x=-2}\quad\) ou \(\sf{x=-3}\)

Observe que, dentro da condição de existência, ambos os valores são soluções.

Condição de Existência(CE) final será: \(\sf{x\geqslant-\dfrac{14}{5}}\), observe:

a) \(\sf{5x+14\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant-\dfrac{14}{5}}\) e

b) \(\sf{2x+6\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant-3}\)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados: \(\sf{\left(\sqrt{5x+14}\right)^2=(2x+6)^2}\to\)

\(\sf{5x+14=4x^2+24x+36}\to\sf{4x^2+19x+22}\to\cdots\to\sf{x=-\dfrac{11}{4}}\quad\) ou \(\sf{x=-2}\)

Observe que, dentro da condição de existência, ambos os valores são soluções.