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Condição de Existência(CE) final será: \(\sf{x\geqslant\dfrac{5}{2}}\), observe:

a) \(\sf{6x-5\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant\dfrac{5}{6}}\) e

b) \(\sf{2x-5\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant\dfrac{5}{2}}\)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados: \(\sf{\left(\sqrt{6x-5}\right)^2=(2x-5)^2}\to\)

\(\sf{6x-5=4x^2-20x+25}\to\sf{4x^2-26x+30=0}\to\cdots\to\sf{x=\dfrac{3}{2}}\quad\) ou \(\sf{x=5}\)

Observe que, dentro da condição de existência, apenas \(\sf{x=5}\) é solução.

Condição de Existência(CE) final será: \(\sf{-4\leqslant x\leqslant\dfrac{7}{2}}\), observe:

a) \(\sf{7-2x\geqslant 0}\to\sf{x\leqslant\dfrac{7}{2}}\) e

b) \(\sf{x+4\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant-4}\)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados: \(\sf{\left(\sqrt{7-2x}\right)^2=(x+4)^2}\to\)

\(\sf{7-2x=x^2+8x+16}\to\sf{x^2+10x+9}\to\cdots\to\sf{x=-9}\quad\) ou \(\sf{x=-1}\)

Observe que, dentro da condição de existência, apenas \(\sf{x=-1}\) é solução.

Condição de Existência(CE): \(\sf{4-7x\geqslant 0}\to\sf{x\leqslant\dfrac{4}{7}}\)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados: \(\sf{\left(\sqrt{4-7x}\right)^2=5^2}\to\)

\(\sf{4-7x=25}\to\sf{-7x=21}\to\boxed{x=-3}\,\,\checkmark\)

Condição de Existência(CE): \(\sf{3x-2\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant\dfrac{2}{3}}\)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados: \(\sf{\left(\sqrt{3x-2}\right)^2=5^2}\to\)

\(\sf{3x-2=25}\to\sf{3x=27}\to\boxed{x=9}\,\,\checkmark\)

Condição de Existência(CE): \(\sf{10-2x\geqslant 0}\to\sf{x\leqslant \dfrac{1}{5}}\)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados: \(\sf{\left(\sqrt{10-2x}\right)^2=4^2}\to\)

\(\sf{10-2x=16}\to\sf{2x=-6}\to\boxed{x=-3}\,\,\checkmark\)

Condição de Existência(CE): \(\sf{4x+5\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant-\dfrac{5}{4}}\)

Vamos elevar ao quadrado ambos os lados: \(\sf{\left(\sqrt{4x+5}\right)^2=5^2}\to\)

\(\sf{4x+5=25}\to\sf{4x=20}\to\boxed{x=5}\,\,\checkmark\)

Uma parte dessa resolução eu mesmo farei, pois não se encontra no material pesquisado, mas é de fácil compreensão. O que farei será "abrir" os módulos, um a um; após, a explicação do livro é detalhada e minuciosamente correnta; assim:

\(\sf{\bold{|x-1|}}=\left\{\begin{array}{rcr}x-1 & \text{se} & x-1\geqslant 0\to x\geqslant 1\\&&\\-x+1 & \text{se} & x-1<0\to x<1\end{array}\right.\)

\(\sf{\bold{|x-2|}}=\left\{\begin{array}{rcr}x-2 & \text{se} & x-2\geqslant 0\to x\geqslant 2\\&&\\-x+2 & \text{se} & x-2<0\to x<2\end{array}\right.\)

Vamos à resolução dos professores da UFABC e autores do livro Bases Matemáticas:

Temos três casos a considerar:

Caso(i): Se \(\sf{x<1}\to\sf{|x-1|-2|x-2|=-3\Leftrightarrow -x+1-2(-x+2)=-3\to\sf{x=0}}\,\,\checkmark\)

Caso(ii): Se \(\sf{1\leqslant x\leqslant 2}\to\sf{x-1-2(-x+2)=-3}\to x=\dfrac{2}{3}\) (Não é solução)

Caso(iii): Se \(\sf{x>2}\to\sf{|x-1|-2|x-2|=-3\Leftrightarrow x-1-2(x-2)=-3\to\sf{x=6}}\,\,\checkmark\)

Portanto a solução final será \(\left\{0;\,6\right\}\).

Vamos utilizar a definição de módulo para \(\sf{x+1}\):

\(\sf{\bold{|x+1|}}=\left\{\begin{array}{rcr}x+1 & \text{se} & x+1\geqslant 0\to x\geqslant-1\\&&\\-x-1 & \text{se} & x+1<0\to x<-1\end{array}\right.\)

Para \(\sf{\bold{x\geqslant-1}}\to\sf{x+1=3}\to\sf{\boxed{\sf{\bold{x=2}}}}\quad\checkmark\)

Para \(\sf{\bold{x<-1}}\to\sf{-x-1=3}\to\sf{\boxed{\sf{\bold{x=-4}}}}\quad\checkmark\)

Outra técnica frequentemente utilizada na resolução de equações irracionais é multiplicar essa equação por uma expressão(diferente de zero), em especial pelo conjugado; assim:

\(\sf{\sqrt{3x^2-2x+15}-\sqrt{3x^2-2x+8}=1\,\times\,\underbrace{\left(\sqrt{3x^2-2x+15}+\sqrt{3x^2-2x+8}\right)}_{\text{Conjugado}}}\to\)

\(\sf{3x^2-2x+15-(3x^2-2x+8)=\sqrt{3x^2-2x+15}+\sqrt{3x^2-2x+8}}\to\)

\(\sf{2\sqrt{3x^2-2x+15}=8}\to\sf{3x^2-2x-1=0}\cdots\to\cdots\sf{x=-\dfrac{1}{3}}\) ou \(\sf{x=1}\)

Verificando na equação original, teremos que ambos os valores estão no domínio e, portanto, ambos são soluções.

Primeiramente, devemos observar o domínio(D) da equação, no nosso caso, todas as raízes quadradas(expoente par igual a 2) e verificar que seus radicandos devem ser maiores ou iguais a zero; assim:

• \(\sf{9x+4\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant-\dfrac{9}{4}}\quad\) e

• \(\sf{3x-4\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant\dfrac{4}{3}}\quad\) e

• \(\sf{3x\geqslant 0}\to\sf{x\geqslant 0}\)

A interseção dos três domínios nos dará o conjunto domínio \(\sf{\bold{D=\left\{x\in\mathbb{R}\,\,/\,\,x\geqslant\dfrac{4}{3}\right\}}}\).

Estabelecido o domínio inicialmente, basta-nos observar se a(s) solução(ções) pertence(cem) ao domínio(ou não). Vamos à resolução da equação, elevando ambos os lados ao quadrado:

\(\sf{(\sqrt{9x+4}+\sqrt{3x-4})^2=(2\sqrt{3x})^2}\to\)

\(\sf{9x+4+2\sqrt{(9x+4)(3x-4)}+3x-4=12}\to\)

Agrupando os termos em comum(semelhantes):

\(\sf{2\sqrt{(9x+4)(3x-4)}=0}\).

Aqui, não há a necessidade de elevarmos ambos os lados ao quadrado novamente, uma vez que, para ser verdade, basta que:

\(\sf{\bold{9x+4=0}}\to\sf{\bold{x=-\dfrac{9}{4}}}\to\quad\) Não pertence ao conjunto D(Domínio) ou

\(\sf{\bold{3x-4=0}}\to\sf{\bold{x=\dfrac{4}{3}}}\to\quad\) Sim, pertence ao conjunto D(Domínio).

Portanto a solução única e final será: \(\sf\bold{x=\dfrac{4}{3}}\quad\checkmark\)

Vamos utilizar uma incógnita auxiliar e resolver a equação que surgir em função dessa nova incógnita. Após, retornaremos à incógnita principal; assim:

Fazendo \(\sf{x^{-2}=(x^{-1})^2=k^2}\quad\) e \(\quad\sf{x^{-1}=k}\), teremos a equação:

\(\sf{6k^2-17k+12=0}\to\quad\) Fórmula Quadrática:

\(\sf{k=\dfrac{17\pm\sqrt{289-288}}{12}}\to\sf{k=\dfrac{17\pm 1}{12}}\to\sf{k=\dfrac{4}{3}}\quad\) ou \(\quad\sf{k=\dfrac{3}{2}}\)

Retornando à incógnita principal(x), teremos:

Para \(\sf{k=\dfrac{2}{3}}\to x^{-1}=\dfrac{2}{3}\to\sf{x=\dfrac{3}{2}}\)

Para \(\sf{k=\dfrac{4}{3}}\to x^{-1}=\dfrac{4}{3}\to\sf{x=\dfrac{3}{4}}\)

Vamos utilizar uma incógnita auxiliar e resolver a equação que surgir em função dessa nova incógnita. Após, retornaremos à incógnita principal; assim:

Fazendo \(\sf{x^2-3x+2=k}\), teremos a equação: \(\sf{k^2-3k=0}\to\quad\sf0{k=0}\quad\) ou \(\quad\sf{k=3}\).

Retornando à incógnita principal(x), teremos:

Para \(\sf{k=0}\to\sf{x^2-3x+2=0}\to\quad\) Fórmula Quadrática \(\quad\sf{x=1}\quad\) ou \(\quad\sf{x=2}\);

Para \(\sf{k=3}\to\sf{x^2-3x+2=3}\to\sf{x^2-3x-1=0}\quad\) Fórmula Quadrática:

\(x=\dfrac{3\pm\sqrt{13}}{2}\to\sf{x=\dfrac{3-\sqrt{13}}{2}}\quad\) ou \(\quad\sf{x=\dfrac{3+\sqrt{13}}{2}}\).

Primeiramente, devemos observar se há(ou não) algum impedimento quanto ao domínio(valores de "x"). Nesse caso, os denominadores das frações não podem zerar, assim:

\(\sf{x^2-1\neq 0}\to \sf{x\neq-1}\quad\) e \(\quad\sf{x\neq 1}\) e ainda: \(\sf{x-1\neq 0}\to\sf{x\neq 1}\)

Resolvidas as restrições de domínio, vamos à resolução da equação:

\(\sf{\dfrac{2}{x^2-1}-\dfrac{x}{x-1}=0}\to\sf{\dfrac{2-x(x+1)}{\cancel{(x-1)(x+1)}}=0}\to\)

\(\sf{-x^2-x+2=0}\to\sf{x^2+x-2=0}\to\sf{x=\dfrac{-1\pm 3}{2}}\to\sf{x=-2}\quad\) ou \(\quad \sf{x=1}\quad\checkmark\)

Vamos utilizar uma incógnita auxiliar e resolver a equação que surgir em função dessa nova incógnita. Após, retornaremos à incógnita principal; assim:

Fazendo \(\sf{x^4=k^2}\) e \(\sf{x^2=k}\), teremos a equação: \(\sf{\bold{k^2-24k-25=0}}\), que será resolvida através da Fórmula Quadrática:

\(\sf{k=\dfrac{24\pm\sqrt{576+100}}{2}}\to\sf{k=\dfrac{24\pm 26}{2}}\to k=-1\quad\) ou \(\quad\sf{k=25}\).

Retornando à incógnita principal(x), teremos:

Para \(\sf{k=-1}\to\sf{x^2=-1}\to\sf{x=-i}\quad\) ou \(\quad\sf{x=i}\);

Para \(\sf{k=25}\to\sf{x^2=25}\to\sf{x=-5}\quad\) ou \(\quad\sf{x=5}\).

Vamos utilizar uma incógnita auxiliar e resolver a equação que surgir em função dessa nova incógnita. Após, retornaremos à incógnita principal; assim:

Fazendo \(\sf{x^4=k^2}\) e \(\sf{x^2=k}\), teremos a equação: \(\sf{\bold{2k^2-5k+3=0}}\), que será resolvida através da Fórmula Quadrática:

\(\sf{k=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{4}}\to\sf{k=\dfrac{5\pm 1}{4}}\to\quad k=1\quad\) ou \(\sf{\quad k=\dfrac{3}{2}}\).

Retornando à incógnita principal(x), teremos:

Para \(\sf{k=1}\to\sf{x^2=1}\to x=-1\quad\) ou \(\quad x=1\);

Para \(\sf{k=\dfrac{2}{3}}\to x^2=\dfrac{3}{2}\to\sf{x=-\dfrac{\sqrt{6}}{2}}\quad\) ou \(\quad\sf{x=\dfrac{\sqrt{6}}{2}}\).

Vamos reescrever a equação em sua forma mais fatorada:

\(\sf{(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})(x-3)(x+3)=0}\to x=-3\quad\text{ou}\quad x=-\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x=\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x=3\quad\checkmark\)

Vamos reescrever a equação em sua forma mais fatorada: \(\sf{\bold{x(x-3)(x+3)=0}}\).

Assim: \(\sf{x=0\quad\text{ou}\quad x=-3\quad\text{ou}\quad x=3}\quad\checkmark\)

\(\sf{\bold{2x-3(x-2)=7(x+3)}}\to\sf{2x-3x+6-7x-21=0}\to\)

\(\sf{-8x=15}\to\boxed{\sf{x=-\dfrac{15}{8}}}\,\,\checkmark\)

Antes da resolução, devemos verificar o domínio dessa equação, ou seja, se há(ou não) alguma(s) restrição(ções) para valor(es) de "x" que possam tornar essa equação inviável(indefinida, indeterminada ou impossível). No caso as restrições, estão nos denominadores ou seja:

\(\sf{1-x\neq 0}\to\sf{x\neq 1}\quad\) e \(\quad\sf{x\neq 0}\)

Visto isso, podemos resolver apenas o numerdador da equação:

\(\sf{\dfrac{x}{1-x}+\dfrac{x-2}{x}-1=0}\to\sf{\dfrac{x\cdot x+(x-2)\cdot(1-x)-x(1-x)}{\cancel{x(1-x)}}}\to\)

\(\sf{x^2-x^2+3x-2+x^2-x=0}\to\sf{x^2+2x-2=0}\to\) Fórmula Quadrática \(\to\)

\(\sf{x=\dfrac{-2\pm\sqrt{12}}{2}}\to\quad\underline{x=-1-\sqrt{3}}\quad\text{ou}\quad \underline{x=-1+\sqrt{3}}\quad\checkmark\)

\(\sf{\bold{\dfrac{x}{x+2}+\dfrac{4}{x-1}=5}}\to\sf{\dfrac{x(x-1)+4(x+2)-5(x+2)(x-1)}{(x+2)(x-1)}=0}\to\)

\(\sf{\dfrac{x^2-x+4x+8-5x^2-5x+10}{(x+2)(x-1)}=0}\to\sf{\dfrac{-4x^2-2x+18}{(x+2)(x-1)}=0}\to\)

\(\sf{\dfrac{-2(2x^2+x-9)}{(x+2)(x-1)}=0}\). Nesse ponto, vamos analisar por partes:

(I) \(\sf{-2=0}\to\) Impossível \(\quad\checkmark\)

(II) \(\sf{x+2\neq 0}\to \sf{x\neq-2}\), pois zeraria o denominador \(\quad\checkmark\)

(III) \(\sf{x-1\neq 0}\to \sf{x\neq 1}\), pois zeraria o denominador \(\quad\checkmark\)

(IV) \(\sf{2x^2+x-9=0}\to\) Fórmula Quadrática:

\(\sf{x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+72}}{4}\to}\quad\sf{x=\dfrac{-1-\sqrt{73}}{4}}\,\checkmark\quad\) ou \(\quad\sf{x=\dfrac{-1+\sqrt{73}}{4}}\,\checkmark\)

Finalizando, as duas soluções serão:

\(\quad\sf{x=\dfrac{-1-\sqrt{73}}{4}}\,\checkmark\) ou \(\quad\sf{x=\dfrac{-1+\sqrt{73}}{4}}\,\checkmark\)

Avaliando a resolução com Wolfram Alpha:

Observando a imagem, calcularemos a área desse triângulo ABC:

Com a montagem da imagem desse triângulo observa-se que a altura é igual a 12. Agora, basta-nos calcular a área(A) aplicando a fórmula:

\(\sf{\bold{A=\dfrac{b\cdot h}{2}\to A=\dfrac{14\times 12}{2}\to A=84}}\) unidades quadradas.

A distância entre os pontos dados será o valor do diâmetro(D). A metade desse valor nos fornecerá o raio(R). A partir desse raio(R) podemos obter a área; assim:

\(\sf{\bold{D=\sqrt{(6+8)^2+(13-21)^2}=\sqrt{196+64}=\sqrt{260}=2\sqrt{65}}}\). Assim, o raio(R) será \(\sf{\bold{R=\sqrt{65}}}\).

Portanto a área(A) será: \(\sf{\bold{A=\pi\cdot R^2}}\to A=65\pi\) unidades quadradas.

A altura(h) até o lado AC é traçada do vértice B perpendicular a AC. Como AC está ao longo do eixo x, a altura é uma linha vertical através do ponto B que intersecta o eixo x no ponto (5; 0). Observe a imagem:

A altura(h) é a distância vertical entre os pontos (5; 12) (5; 0), ou h = 12.

Encontremos os comprimentos dos lados do triângulo, utilizando a fórmula da distância \(\sf{\bold{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}}\), para cada lado:

\(\sf{\bold{d_{AB}=\sqrt{(0-0)^2+(0-12)^2}=\sqrt{144}=12}}\)

\(\sf{\bold{d_{AC}=\sqrt{(0-6\sqrt{3})^2+(12-6)^2}=\sqrt{144}=12}}\)

\(\sf{\bold{d_{BC}=\sqrt{(0-6\sqrt{3})^2+(0-6)^2}=\sqrt{144}=12}}\)

Trata-se de um triângulo equilátero, pois os três lados são iguais.

Encontremos os comprimentos dos lados do triângulo, utilizando a fórmula da distância \(\sf{\bold{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}}\), para cada lado:

\(\sf{\bold{d_{AB}=\sqrt{(1-4)^2+(1-5)^2}=\sqrt{25}=5}}\)

\(\sf{\bold{d_{AC}=\sqrt{(1-9)^2+(1+5)^2}=\sqrt{100}=10}}\)

\(\sf{\bold{d_{BC}=\sqrt{(4-9)^2+(5+5)^2}=\sqrt{125}}}\)

O triângulo não é isósceles nem equilátero, mas, se aplicarmos o Teorema de Pitágoras, podemos observar que se trata de um triângulo retângulo; observe:

\(\sf{\bold{5^2+10^2+\left(\sqrt{125}\right)^2\to 125=125}}\,\,\checkmark\)