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Vamos utilizar a fórmula \(\sf{\bold{d=\dfrac{|a\cdot x_{0}+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}}}\):

\(\sf{\bold{d = \dfrac{|3 \times 3 - 4 \times 4 + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{|9 - 16 + 5|}{5} = \dfrac{2}{5} = 0,4\quad\checkmark}}\)

Vamos utilizar a fórmula quadrática: \(\sf{\bold{x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a\cdot c}}{2\cdot a}}}\):

\(\sf{\bold{x=\dfrac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^2-4\cdot 1\cdot 5}}{2\cdot 1}\to x=\dfrac{4\pm 2i}{2}\to x=2\pm i\quad\checkmark}}\)

Vamos utilizar a fórmula \(\sf{\bold{S=S_{0}+V\cdot T\to S=7+5\cdot 12\to S=67m\quad\checkmark}}\)

Vamos utilizar a Lei dos Cossenos: \(\sf{\bold{c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot\cos(\hat{C})}}\)

\(\sf{\bold{9^2=7^2+8^2-2\cdot 7\cdot 8\cdot\cos(\hat{C})\to 81=49+64-112\cos(\hat{C})\to}}\)

\(\sf{81=113-112\cos(\hat{C})\to\cos(\hat{C})=\dfrac{32}{112}\to\bold{\cos(\hat{C})\approx 0,286}}\)

(1).Condição de Existência: \(\sf{\bold{x-1>0\to x>1}\quad\checkmark}\)

(2).Resolvendo a equação \(\sf{\bold{\log_{2}(x - 1) = 3}}\):

\(\sf{\bold{x-1=2^3\to x-1=8\to x-9}\quad\checkmark}\)

De (1) e (2) teremos a solução única \(\sf{\bold{x=9}}\)

Vamos utilizar a fórmula \(\sf{\bold{S_n = a_1 \dfrac{q^n - 1}{q - 1}}}\):

\(\sf{\bold{S_5 = 2 \times \dfrac{3^5 - 1}{3 - 1}\,\,=\,\, 2 \times \dfrac{243 - 1}{2}\,\,=\,\,2 \times 121 = 242}}\)

Duas possibilidades:

Primeira: \(\sf{2x-5=7\to 2x = 12 \implies x = 6}\)

Segunda: \(\sf{2x-5=-7\to 2x = -2 \implies x = -1}\)

O gráfico de \(\sf{y = |2x - 5|}\) é uma função em V, com vértice em:

\(\sf{\bold{2x - 5 = 0 \implies x = \dfrac{5}{2} \implies y = 0}}\)

\(\sf{-5\leqslant\dfrac{3x-2}{3}\leqslant 8\to-15\leqslant 3x-2\leqslant 24\to}\)

\(\sf{-13\leqslant 3x\leqslant 26\to-\dfrac{13}{3}\leqslant x\leqslant\dfrac{26}{3}\quad\checkmark}\)

(1).Condição de Existência: \(\sf{3-4x\neq 0\to-4x\neq-3\to x\neq\dfrac{3}{4}\quad\checkmark}\)

(2).\(\sf{\dfrac{2x-1}{3-4x}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}\to\dfrac{12x-6-(3-4x)=2(3-4x)}{\cancel{6(3-4x)}\to}}\)

\(\sf{12x+4x+8x=6+6+3\to 24x=15\to x=\dfrac{5}{8}\quad\checkmark}\)

De (1) e (2) concluímos que a solução única é \(\sf{\bold{x=\dfrac{5}{8}}}\)

\(\sf{2(x^2-3)\geqslant 4(2x^2+1)\to 2x^2-6-8x^2-4\geqslant 0\to}\)

\(\sf{-6x^2-10\geqslant 0\,\,(-\frac12)\to 3x^2+5\leqslant 0}\)

Observe que o gráfico abaixo, da função \(\sf{\bold{y=3x^2+5}}\), não toca o eixo das abscissas, portanto, para qualquer valor real de domínio sua imagem será sempre positiva; assim \(\sf{\bold{S=\left\{\right\}}}\)

\(\sf{\dfrac{4x^2-2}{3}=\dfrac{5(x^2+3)}{2}\to\dfrac{8x^2-4-15x^2-45}{\cancel{6}}=0\to}\)

\(\sf{-7x^2=49\to x^2=-7\to x_{1}=-i\sqrt{7}\quad\text{ou}\quad x_{2}=i\sqrt{7}}\quad\checkmark\)

Inicialmente, vamos adotar três números pares consecutivos, tomando o segundo número par(x); seu par anterior(x-2) e seu par posterior(x+2); assim:

\(\sf{\bold{x-2+x+x+2=828\to 3x=828\to x=\dfrac{828}{3}\to x=276}}\,\,\checkmark\)

Assim, os números pares são 274, 276 e 278.

Vamos chamar o tempo futuro de "t"(anos) para que a soma das idades resulte 80 anos; assim:

\(\sf{\bold{18+t+14+t=80\to 2t=80-32\to 2t=48\to t=24}}\quad\checkmark\)

Vamos calcular a média final ponderada, já tendo o valor mínimo dessa média(5) e as notas das três primeiras provas, assim:

\(\sf{\bold{5=\dfrac{2\times 4+2\times 4,5+ 3\times 6 +3\times P_{4}}{2+2+3+3}\to}}\)

\(\sf{\bold{3P_{4}+35=50\to P_{4}=15\to P_{4}=5}}\quad\checkmark\)

\(\sf{\dfrac{x+2}{3}-\dfrac{4-5x}{2}=\dfrac{3x-5}{4}+\dfrac{1}{3}\to}\)

\(\sf{\dfrac{4(x+2)-6(4-5x)=3(3x-5)+4}{\cancel{12}}\to}\)

\(\sf{4x+8-24+30x=9x-15+4\to 25x=5\to x=\dfrac{1}{5}}\quad\checkmark\)

Observe que temos uma única frase com três valores a serem encontrados. Se formos utilizar o raciocínio simples de que para cada frase devemos ter uma incógnita, teremos, por exemplo, "x + y + z = 66".

Aqui, devemos perceber que os três números são consecutivos e, portanto, podemos trabalhar com apenas uma incógnita, seu antecessor e seu sucessor, assim, para a incógnita "x" teremos a equação:

\(\sf{\bold{(x-1)+x+(x+1)=66\to 3x = 66\to x=22}}\quad\checkmark\)

Portanto, os três números consecutivos serão: 21, 22 e 23.

a) \(\sf{x-25=175\to x=175+25\to x=200}\quad\checkmark\)

b) \(\sf{y+32=52\to y=52-32\to y=20}\quad\checkmark\)

c) \(\sf{2x-13=35\to 2x=13+35\to 2x=48\to x=24}\quad\checkmark\)

d) \(\sf{-23x-3=43\to -23x=46\to x=-2}\quad\checkmark\)

Vamos montar um sistema comduas equações e duas incógnitas; resolvendo-a, encontraremos os valores de "a" e "b"; assim:

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc}(-2)\cdot a & + & b & = & 8&(-1)\\&&&&&\\(-1)\cdot a & + & b & = & 2&\end{array}\right.\Rightarrow\)

\(\left\{\begin{array}{rcrcrc}2a & - & b & = & -8&\\&&&&&\\-a & + & b & = & 2&\end{array}\right.\Rightarrow\)

Somando as duas equações, termo a termo, teremos: \(\sf{\bold{a=-6}}\quad\checkmark\)

Substituindo \(\sf{a=-6}\) na primeira equação, teremos:

\(\sf{\bold{-2\cdot(-6)+b=8\to b=-4\quad\checkmark}}\)

Em um ano, o valor \(v\) de uma ação negociada na bolsa, ao longo dos meses \(t\), é dado por:

\(\sf{\bold{v = 2t^2 - 20t + 60}}\)

• Tipo: Função quadrática (parábola voltada para cima)

• Vértice: \((5, 10)\), indicando o valor mínimo de R$ 10,00 no 5º mês.

• Valor inicial: R$ 60,00 (em \(t=0\))

• Valor após 12 meses:

  \(\sf{\bold{v(12) = 2 \times 12^2 - 20 \times 12 + 60 = 108}}\)

• Variação percentual em 1 ano:

  \(\sf{\bold{P= \dfrac{108 - 60}{60} \times 100\% = 80\%}}\)

Assim, a ação aumentou 80% ao final de 1 ano.

O gráfico é uma parábola com vértice em \((5,10)\), passando por \((0,60)\) e \((12,108)\), sem interceptar o eixo \(t\).

Exercício produzido com auxílio do ChatGPT - OpenAI (2025) para o projeto 1001 Exercícios Resolvidos de professorlopes.com

Aplicação direta da fórmula de montante para juros compostos, ou seja:

\(\sf{\bold{M=500.000(1,06)^3\to M\approx 500.000\cdot 1,191016\to M\approx 595.508,00}}\,\,\checkmark\)

Quando não é citado o tipo de juros, se são simples ou composto, utilizamos os juros real de mercado, ou seja, os juros compostos, cuja fórmula de montante é:

\(\sf{\bold{M=C\cdot(1+i)^{t}}}\), onde

"M" é o montante final;

"C" é o capital inicial aplicado;

"i" é a taxa de juros, sempre utilizada em número decimal e

"t" é o tempo de aplicação, que deve seguir, sempre, o período fornecido na taxa de juros.

a) \(\sf{\bold{M=200.000\cdot(1+0,01)^6\to M\approx 200.000\cdot 1,06152\to M\approx 212.300,00}}\quad\checkmark\)

b) \(\sf{\bold{322.102,00=200.000\cdot(1,01)^t\to 1,61=(1,01)^t\to}}\)

Aplicando logaritmo natural(\(\ln\)) a ambos os lados, teremos:

\(\sf{\bold{\ln(1,61)=\ln(1,01)^t\to \ln(1,61)=t\cdot\ln(1,01)\to}}\)

\(\to\,\,\sf{\bold{t=\dfrac{\ln(1,61)}{\ln(1,01)}\to t\approx 47,8\,\,\text{meses}}}\);

Portanto, o tempo mínimo de aplicação é de 48(quarenta e oito) meses.

Isolando \(\sf{\bold{\text{sen(2x)}}}\), teremos

\(\sf{\bold{\text{sen}(2x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}}\)

e dois valores no intervalo dado:

Ou \(\sf{\bold{2x=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi\to x=\dfrac{2\pi}{3}+k\pi\to x=\dfrac{2\pi}{3}\quad\text{e}\quad x=\dfrac{5\pi}{3}}}\)

Ou \(\sf{\bold{2x=\dfrac{5\pi}{3}\to x=\dfrac{5\pi}{6}+k\pi\to x=\dfrac{5\pi}{6}\quad\text{e}\quad x=\dfrac{11\pi}{6}}}\)

Vamos substituir \(\sf{\bold{\text{sen}^2(x)}}\quad\) por \(\quad\sf{\bold{1-\cos^2(x)}}\):

\(\sf{\bold{-2+5\cos(x)-2\cos(x)-4=0}}\), que fatorado e simplificado resulta:

\(\sf{\bold{[\cos(x)-2]\times[2\cos(x)-1]=0}}\) obtendo duas igualdades:

Ou \(\sf{\bold{\cos(x)-2=0\to\cancel{\cos(x)=2}}}\to\quad\) Impossível;

Ou \(\sf{\bold{2\cos(x)-1=0\to\cos(x)=\dfrac{1}{2}\to x=-\dfrac{\pi}{3}\quad\text{ou}\quad x=\dfrac{\pi}{3}}}\). Entretanto, esses pontos devem ser obtidos em todas as voltas(positivas ou negativas) no ciclo trigonométrico, por isso as soluções gerais serão:

\(\sf{\bold{S=\left\{x\in\mathbb{R}\,\,|\,\,x=-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z}\quad\text{ou}\,\,x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\,\,k\in\mathbb{Z}\right\}}}\)