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O centro de um losango está na interseção das diagonais, que também é o ponto médio de cada diagonal. Encontrando o ponto médio de uma das diagonais utilizando a fórmula \(\sf{\bold{x_m=\dfrac{x_1+x_2}{2};\,\dfrac{y_1+y_2}{2}}}\) poderemos encontrar o ponto médio do losango. Usando a diagonal HK, o ponto médio é

\(\sf{\bold{M=\left(\dfrac{0+8}{2};\,\dfrac{3+3}{2}\right)=\left(\dfrac{8}{2};\,\dfrac{6}{2}\right)=(4;\,3)}}\,\checkmark\)

Encontremos os comprimentos dos lados do paralelogramo, utilizando a fórmula da distância \(\sf{\bold{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}}\), para cada lado:

\(\sf{\bold{d_{DE}=\sqrt{(0-9)^2+(10-13)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}}}\)

\(\sf{\bold{d_{FG}=\sqrt{(11-2)^2+(7-4)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}}}\)

\(\sf{\bold{d_{GD}=\sqrt{(2-0)^2+(4-10)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}}}\)

\(\sf{\bold{d_{EF}=\sqrt{(9-11)^2+(13-7)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}}}\)

Apesar de termos realizado os cálculos para todos os lados independentemente, poder-se-ia observar que os lados opostos são congruentes, no caso, \(\sf{DE\cong FG}\) e \(\sf{GD\cong EF}\). Portanto, o perímetro será dado pela soma dos lados, ou seja: \(\sf{\bold{10\sqrt{10}}}.\,\checkmark\)

Encontremos os comprimentos dos lados do triângulo, utilizando a fórmula da distância \(\sf{\bold{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}}\), para cada lado:

\(\sf{\bold{d_{AB}=\sqrt{(1-1)^2+(1-4)^2}=\sqrt{9}=3}}\)

\(\sf{\bold{d_{AC}=\sqrt{(1-5)^2+(1-1)^2}=\sqrt{16}=4}}\)

\(\sf{\bold{d_{BC}=\sqrt{(1-5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{25}=5}}\)

Portanto, o perímetro será \(\sf{\bold{3+4+5=12}}\,\,\checkmark\)

Utilizando a fórmula

\(\sf{\bold{x_m=\dfrac{x_1+x_2}{2};\,\dfrac{y_1+y_2}{2}}}:\)

\(\sf{\bold{x_m=\dfrac{\frac26+\frac56}{2};\,\dfrac{-\frac{2}{4}+\left(-\frac14\right)}{2}}=\left(\dfrac{7}{12};\,-\dfrac{3}{8}\right)}\)

Utilizando a fórmula

\(\sf{\bold{x_m=\dfrac{x_1+x_2}{2};\,\dfrac{y_1+y_2}{2}}}:\)

\(\sf{\bold{x_m=\dfrac{6+(-4)}{2};\,\dfrac{3+(-4)}{2}}=\left(1;\,-\dfrac{1}{2}\right)}\)

Utilizando a fórmula \(\sf{\bold{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}}:\)

\(\sf{m=\sqrt{(-5-7)^2+[2-(-8)]^2}=\sqrt{(-12)^2+(10)^2}=\sqrt{244}=2\sqrt{61}}\,\,\checkmark\)

Utilizando a fórmula \(\sf{\bold{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}}:\)

\(\sf{m=\sqrt{[6-(-4)]^2+(-5-3)^2}=\sqrt{(10)^2+(-8)^2}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}}\,\,\checkmark\)

Utilizando a fórmula \(\sf{\bold{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}}:\)

\(\sf{m=\sqrt{(0-7)^2+[16-(-8)^2}=\sqrt{(-7)^2+(24)^2}=\sqrt{625}=25}\,\,\checkmark\)

Utilizando a fórmula \(\sf{\bold{d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}}:\)

\(\sf{m=\sqrt{[-8-(-2)]^2+(-1-7)^2}=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=\sqrt{100}=10}\,\,\checkmark\)

Utilizando a fórmula para inclinação \(\sf{\bold{m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}}:\)

\(\sf{m=\dfrac{-9-(-9)}{2-(-2)}=\dfrac{0}{4}=0}\,\,\checkmark\)

Utilizando a fórmula para inclinação \(\sf{\bold{m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}}:\)

\(\sf{m=\dfrac{-7-(-3)}{4-4}=-\dfrac{4}{0}=\nexists}\,\,\checkmark\)

Utilizando a fórmula para inclinação \(\sf{\bold{m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}}:\)

\(\sf{m=\dfrac{2-(-3)}{-6-(-4)}=-\dfrac{5}{2}}\,\,\checkmark\)

Utilizando a fórmula para inclinação \(\sf{\bold{m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}}}:\)

\(\sf{m=\dfrac{9-3}{4-(-2)}=\dfrac{6}{6}=1}\,\,\checkmark\)

Sendo \(\sf{x\neq k\pi,\,k\in\mathbb{Z}},\) teremos:

\(\sf{\left|\dfrac{1}{1+i\cdot \cotg(x)}\right|}=\sf{\dfrac{|1|}{|1+i\cdot\cotg(x)|}}=\sf{\dfrac{1}{\sqrt{1^2+\cotg^2(x)}}}=\)

\(=\sf{\dfrac{1}{\sqrt{\cosec^2(x)}}=\dfrac{1}{|\cosec(x)|}=|\text{sen}(x)|}\,\,\checkmark\)

Como \(\sf{B\subset A;\,n(A-B)=n(A)-n(B)=14-6=8}.\) Os subconjuntos de A disjuntos de B são subconjuntos de \(\sf{A-B}.\) Logo o valor a ser encontrado é o número de subconjuntos de \(\sf{A-B}\) com menos de 7 elementos; assim:

\(\sf{2^8-\dbinom{8}{7}-\dbinom{8}{8}=2^8-8-1=\underline{2^8-9}}\,\,\checkmark\)

Análise inicial

A equação envolve:

• Forma algébrica e trigonométrica de números complexos.

• Potências de frações complexas.

Ideia:

1. Calcular o lado direito (termo independente de \(x\));

2. Reduzir o lado esquerdo a forma trigonométrica para isolar \(x\).

1.Cálculo do lado direito

1.1: Calcular cada fração

\(\to \sf{\dfrac{1 + i}{1 - i} = \dfrac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \dfrac{(1 + i)^2}{1^2 - i^2} = \dfrac{(1 + 2i + i^2)}{1 + 1} = \dfrac{(1 + 2i - 1)}{2} = \dfrac{2i}{2} = i}\)

\(\to \sf{\dfrac{1 - i}{1 + i} = \dfrac{(1 - i)(1 - i)}{(1 + i)(1 - i)} = \dfrac{(1 - 2i + i^2)}{1 - i^2} = \dfrac{(1 - 2i - 1)}{2} = \dfrac{-2i}{2} = -i}\)

1.2: Efetuar a subtração

\(\sf{i - (-i) = i + i = 2i}\)

1.3: Elevar à quarta potência

\(\sf{(2i)^4 = 2^4 \cdot i^4 = 16 \cdot 1 = 16}\,\,\checkmark\)

2.Redução da equação

A equação torna-se:

\(\sf{16 \cdot \left( \dfrac{1 - i x}{1 + i x} \right)^3 = 16}\to\sf{\left( \dfrac{1 - i x}{1 + i x} \right)^3 = 1}\)

Forma trigonométrica

Sabemos:

Desejamos:

Determinar o argumento de \(z\)

Note que:

Logo:

O argumento de \(z\) é:

Condição para \( z^3 = 1 \)

Sabemos:

Logo:

Determinação de \(x\)

Caso \( k = 0 \):

Caso \( k = 1 \):

Multiplicando por \(\sqrt{3}\):

Opções:

Caso \( k = 2 \):

Multiplicando por \(\sqrt{3}\):

Opções:

Resposta final

O conjunto de soluções reais: